基于P&L角度理解BSM模型

最新推荐文章于 2025-06-03 21:01:43 发布

CoheeY

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文章标签：金融

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_57158039/article/details/130177026

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文章讨论了统计学家如何使用连续时间金融模型来描述资产价格的潜在统计属性，但实际操作中，从业者主要用这些模型来管理风险，通过对损益(P&L)的精确描述和风险区分。BSM模型被用于构建组合，通过泰勒展开分析组合的瞬时损益，强调了theta和随机项的关系在决定投资组合盈亏中的作用。当模型的某些项同号时，可能无法有效对冲风险，只有当它们异号时，模型才能在characterizeP&L和differentiaterisks上发挥作用。

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大多数统计学家使用连续时间金融模型来捕获不同的统计属性的潜在资产价格

然而，多数从业者并不使用模型来预测资产价格的变动，而是将其作为衍生品投资组合的损益（P&L）的会计工具来进行风险对冲

也就是说，从业人员只使用不同的模型来精确地描述损益表（characterize P&L）和区分风险(differentiate risks)，记住我们这里的目的这很重要

由此，我们在这里介绍一种基于P&L角度来理解BSM模型的方法：

现在我们建立一个组合，在组合中以 r 的利率借入ΔS现金并买入Δ份股票，做空一个欧洲看涨期权，其期限为T，回报函数为F（ST），其中S是标的资产价格，假设该期权价格函数由P（t、S）给出，而对冲仅使用S这个资产来完成

则该组合的瞬时损益PL为：

$\begin{align*} P&L &= -[P(t + \delta t, S + \delta S) - P(t, S)] + r P(t, S) \delta t + \Delta \delta S \ - (r - q) \Delta S \delta t \end{align*}$

在等式中，第一个括号中是由于做空看涨期权带来的损益，在后面的一项 $r P(t, S) \delta t$

是由于卖出期权得到的premium而产生的现金收入，而之后两项分别为Δ份股票瞬时涨跌幅度和借钱买入股票的成本（q为分红收益率）

由低阶泰勒展开我们知道：

$P(t+\delta t,S+\delta S)-P(t,S) \approx \frac{\partial P}{\partial t} \delta t + \frac{\partial P}{\partial S} \delta S + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial S^2} (\delta S)^2$