leetcode-最长递增子序列-优快云博客

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动态规划的题目我真的不想看题解，题解都是直接推出来动态转移方程，我就很纳闷，到底是怎么推出来的呢？什么样的智慧，上来分析问题就是那么的清晰有条理。我还是推荐如下思路：

1、先依靠暴力递归尝试解决问题

2、只要暴力递归尝试没问题，那么递推动态规划就是水到渠成的事了。

话不多说，看我的解题思路。
暴力递归思路：想要知道整个数组的最长严格递增子序列长度，如果我知道以每个位置开头的最长严格递增子序列的长度，然后遍历求最大，就可以得到了。

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
    if (nums == null) {
        return 0;
    }
    if (nums.length == 1) {
        return 1;
    }
    int max = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        max = Math.max(max, p(nums, i));
    }
    return max;
}

// 以nums[numsIndex]开头的严格递增子序列最长长度
public int p(int[] nums, int index) {
    if (index == nums.length) {
        return 0;
    }
    int res = 1;
    // 从index+1往后寻找 大于nums[index]的数，如果没有大于它的数，那么它的最长长度就是它自己1
    for (int i = index + 1; i < nums.length; i++) {
        //如果找到比nums[index]大的数，那么它的长度就是 1+该位置的最长长度
        //后面可能存在多个比nums[index]大的数，遍历每个比它大的数的最长长度，求max
        if (nums[i] > nums[index]) {
            res = Math.max(res, 1 + p(nums, i));
        }
    }
    return res;
}

我们用示例1，看下递归过程

0位置开头的最长长度p(0)（nums参数始终不变，省略），p(0)=Math.max(Math.max(1,1+p(6)),Math.max(1,1+p(7))=2。比10大的有101和18。

p(6),因为没有比101大的数，所以直接返回res=1，即p(6)=1;

p(7),越界，直接返回res=1，即p(7)=1;所以p(0)=2。

其他位置开头的计算类似。最终得到每个位置开头的最长递增子序列长度。主函数遍历数组调用每个位置，求最大值即得到结果。暴力递归会超时。

动态规划：有了暴力递归，我们观察递归函数p，只有一个可变参数，所以准备一个一维数组就够了。然后观察暴力递归过程，发现index位置依赖index+1及其往后的位置（有条件依赖）。根据base case可以得到N位置的答案，所以决定了填数组逻辑从N-1到0。下面看代码。

public int lengthOfLIS2(int[] nums) {
    if (nums == null) {
        return 0;
    }
    if (nums.length == 1) {
        return 1;
    }
    int N = nums.length;
    //看base case可以取到N位置，所以dp数组长度为N+1
    //dp[i]的含义和递归函数的含义一样，以i位置开头的递增子序列最长长度
    int[] dp = new int[N + 1];
    //根据base case初始化值
    dp[N] = 0;
    int max = 0;
    //从N-1到0填dp数组
    for (int index = N - 1; index >= 0; index--) {
        //从这开始直接抄递归部分，只要把递归函数改成dp位置
        int res = 1;
        for (int i = index + 1; i < nums.length; i++) {
            if (nums[i] > nums[index]) {
                //递归函数换成dp[i]
                res = Math.max(res, 1 + dp[i]);
            }
        }
        //得到结果给dp赋值
        dp[index] = res;
        //同时记录最大值
        max = Math.max(max, dp[index]);
    }
    return max;
}

运行结果。