时间复杂度和空间复杂度

1、算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。

时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小，所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度，所以我们如今已经不需要去特别关注一个算法的空间复杂度。

2、时间复杂度

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数（数学里面带有未知数的函数表达式，并不是C语言中的函数），它定量描述了该算法的运行时间。

一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。而且不同的机器，环境不同，代码具体运行时间就不同。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

3、大O的渐进表示法

请计算一下Func1基本操作执行了多少次？

void Func1(int N)

{

       int count = 0;

       for (int i = 0; i < N; ++i)

       {

              for (int j = 0; j < N; ++j)

              {

                     ++count;

              }

       }

       for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)

       {

              ++count;

       }

       int M = 10;

       while (M--)

       {

              ++count;

       }

       printf("%d\n", count);

}

Func1执行的基本操作次数，时间复杂度函数式：F(N)=N*N+2*N+10

N=10,F(N)=130

N=100,F(N)=10210

N=1000,F(N)=1002010

实际中我们计算时间复杂度时，并不一定要计算出精确的执行次数，只需要估算出大概执行次数（N越大，后两项对结果的影响越小），那么这里我们使用大O的渐进表示法。（估算）

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1）用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3）如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

N=10,F(N)=100

N=100,F(N)=10000

N=1000,F(N)=1000000

我们发现大O的渐进表示法去掉了那对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况

1）最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

2）平均情况：任意输入规模的期望运行次数

3）最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如，在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找

平均情况：N/2次找到

重点注意

1）当一个算法随着输入不同，时间复杂度不同，时间复杂度做悲观预期。在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况。所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。

2）一般情况下，时间复杂度计算时未知数都是用N，但是也可以使用M、K等其他的。

3）算时间复杂度不能只去看是几层循环，而要去看它的思想。

4、空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式。

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时额外占用存储空间大小的量度。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行是所需要的栈空间（存储参数、局部变量，一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显示申请的额外空间来确定。

注意

1）空间是可以重复利用，不累计的

2）时间是一去不复返，累计的

练习：计算BubbleSort的空间复杂度？

void BubbleSort(int* a, int n)

{

       assert(a);

       for (size_t end = n; end > 0; --end)

       {

              int exchange = 0;

              for (size_t i = 1; i < end; ++i)

              {

                     if (a[i - 1] > a[i])

                     {

                            Swap(&a[i - 1], &a[i]);

                            exchange = 1;

                     }

              }

              if (exchange == 0)

                     break;

       }

}

计算冒泡排序BubbleSort的空间复杂度？

空间复杂度主要通过函数在运行时候显示申请的额外空间来确定。

需要排序的数组已经在编译期间已经确定好了，需要额外定义的是end、exchange、i。i每次使用的是同一块空间。

大O阶方法：

1）用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3）如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用了常数个额外空间，所以冒泡排序的空间复杂度为：O(1)

O(1)不是代表算法运行一次，是常数次。