【考研数学一·高数(7)】微分方程

1.一阶微分方程

1. 可分离变量型
   • 能写成$y^{\prime }=f(x)\cdot g(y)$
   • 能写成$y^{\prime }=f(ax+by+c)$——令$u=ax+by+c,u^{\prime }=a+bf(u)$
2. 齐次型
   • 能写成$y^{\prime }=f(\frac{y}{x})$——令$\frac{y}{x}=u,y=ux,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$
   • 能写成$\frac{1}{y^{\prime }}=f(\frac{x}{y})$——令$\frac{x}{y}=u,x=uy,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=u+y\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}$
3. 一阶线性微分方程
   • $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$
   • $通解公式y=e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}[\int e^{\int p(x)\mathrm{d}x}q(x)\mathrm{d}x+C]$

2.二阶可降阶微分方程

1. 能写成$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$
   • 令$y^{\prime }=p,y^{\prime \prime }=p^{\prime }$
   • $p=p(x)$
2. 能写成$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$
   • 令$y^{\prime }=p,y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot p$
   • $p=p(y)$

3.二阶常系数齐次线性微分方程

$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0特征方程r^2+pr+q=0$

$\{\begin{array}{l}{p}^2-4q>0,y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}\\ p^2-4q=0,y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}\\ p^2-4q<0,y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)(r=\alpha \pm \beta i,\alpha =-\frac{p}{2},\beta =\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2})\end{array}$

4.二阶常系数非齐次线性微分方程

$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$

1. $f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$
   • $特解设为y^{\ast }=e^{\alpha x}{Q}_n(x)x^k,k=\{\begin{array}{l}0,\alpha 不是特征根\\ 1,\alpha 是单特征根\\ 2,\alpha 是二重特征根\end{array}$
2. $f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]$
   • 特解设为 y ∗ = e α x [ Q l ( 1 ) ( x ) cos ⁡ β x + Q l ( 2 ) ( x ) sin ⁡ β x ] x k { l = m a x { m , n } k = { 0 , α ± β i 不是特征根 1 , α ± β i 是特征根 特解设为y^*=e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x)\cos\beta x+Q_l^{(2)}(x)\sin\beta x]x^k\begin{cases}l=max{\{m,n\}}\\k=\begin{cases}0,\alpha\pm\beta i不是特征根\\1,\alpha\pm\beta i是特征根\end{cases}\end{cases} 特解设为y∗=eαx[Ql(1)​(x)cosβx+Ql(2)​(x)sinβx]xk⎩ ⎨ ⎧​l=max{m,n}k={0,α±βi不是特征根1,α±βi是特征根​​

5.n阶常系数齐次线性微分方程组

$y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+...+p_{n-1}{y}^{\prime }+p_{n}y=0$

$特征方程r^n+p_1{r}^{n-1}+...+p_{n-1}r+p_n=0$

$\{\begin{array}{l}特征根为单实根r时,微分方程通解中对应一项C{e}^{rx}\\ 特征根为k重实根r时,对应k项(C_1+C_{2}x+...+C_k{x}^{k-1})e^{rx}\\ 特征根为单复根\alpha \pm \beta i时，对应两项e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)\\ 特征根为k重复根\alpha \pm \beta i时,对应2k项e^{\alpha x}[(C_1+C_{2}x+...+C_k{X}^{k-1})\cos \beta x+(D_1+D_{2}x+...D_k{x}^{k-1})\sin \beta x]\end{array}$

6.伯努利方程

$y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n(n\ne 0,1)$

$解法\{\begin{array}{l}(1)先变形为y^{-n}{y}^{\prime }+p(x)y^{1-n}=q(x)\\ (2)令z=y^{1-n}\Rightarrow \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Rightarrow \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)\\ (3)解一阶线性方程\end{array}$

7.欧拉方程

$x^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+px\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+qy=f(x)$

$(1)x>0时,令x=e^t,则t=\ln x,\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}$

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\\ \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})=-\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{x^2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}\end{array}\}\Rightarrow \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+(p-1)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+qy=f(e^t)$

$(2)x<0时,令x=-e^t$