本文介绍了随机过程的基础概念，包括概率公式、全概率公式、随机变量的无限族、特征函数、母函数和拉普拉斯变换，以及布朗运动、泊松过程等经典例子。还详细讲解了平稳过程、独立增量过程（如鞅和马尔科夫过程）、点过程等概念及其特性。
随机过程初级教程 第一章
概率公式
全概率公式
P
r
(
X
≤
x
)
=
P
r
(
X
≤
x
,
Y
≤
∞
)
=
∫
−
∞
+
∞
F
X
∣
Y
(
x
∣
y
)
d
F
Y
(
y
)
Pr(X\leq x)=Pr(X\leq x, Y\leq \infty)=\int_{-\infty}^{+\infty}{F_{X|Y}(x|y)dF_Y(y)}
Pr(X≤x)=Pr(X≤x,Y≤∞)=∫−∞+∞FX∣Y(x∣y)dFY(y)
当
Y
Y
Y有概率密度函数
p
Y
(
y
)
p_Y(y)
pY(y)时，公式转变为:
P
r
(
X
≤
x
)
=
P
r
(
X
≤
x
,
Y
≤
∞
)
=
∫
−
∞
+
∞
P
r
(
X
≤
x
∣
Y
=
y
)
p
Y
(
y
)
d
y
Pr(X\leq x)=Pr(X\leq x, Y\leq \infty)=\int_{-\infty}^{+\infty}{Pr(X\leq x|Y=y)p_Y(y)dy}
Pr(X≤x)=Pr(X≤x,Y≤∞)=∫−∞+∞Pr(X≤x∣Y=y)pY(y)dy
当
x
,
y
x,y
x,y有联合密度时，我们可以定义
Y
=
y
Y=y
Y=y时，X的条件密度函数为
p
X
∣
Y
(
x
∣
y
)
=
d
d
x
F
X
∣
Y
(
x
∣
y
)
=
p
X
Y
(
x
y
)
p
Y
(
y
)
p_{X|Y}(x|y)=\frac{d}{dx}F_{X|Y}(x|y)=\frac{p_{XY}(xy)}{p_Y(y)}
pX∣Y(x∣y)=dxdFX∣Y(x∣y)=pY(y)pXY(xy)
随机变量的无限族
特征函数
母函数和拉普拉斯变换
一些常见的分布
极限定理
不等式
随机过程的例子
布朗运动
泊松过程
随机过程类型
平稳独立增量过程
独立增量：
X
t
−
X
t
−
1
,
∀
t
∈
T
X_t-X_{t-1}, \forall t\in T
Xt−Xt−1,∀t∈T互相独立。
平稳增量：
X
t
−
X
s
,
t
>
s
X_t-X_s, t>s
Xt−Xs,t>s只与
t
−
s
t-s
t−s有关，与
s
s
s无关。
鞅
∀ t 1 , t 2 , . . . , t n , a n d ∀ a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R E [ X t n + 1 ∣ X 1 = a 1 , X 2 = a 2 , . . . , X t n = a n ] = a n \forall t_1,t_2,...,t_n, and \forall a_1,a_2,...,a_n\in R\\ E[X_{t_n+1}|X_1=a_1,X_2=a_2,...,X_{t_n}=a_n]=a_n ∀t1,t2,...,tn,and∀a1,a2,...,an∈RE[Xtn+1∣X1=a1,X2=a2,...,Xtn=an]=an
马尔科夫过程
∀
t
1
,
t
2
,
.
.
.
,
t
n
<
t
P
r
(
a
<
X
t
<
b
∣
X
1
=
x
1
,
X
2
=
x
2
,
.
.
.
,
X
t
n
=
x
n
)
=
P
r
(
a
<
X
t
<
b
∣
X
t
n
=
x
n
)
\forall t_1,t_2,...,t_n<t\\ Pr(a<X_t<b|X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_{t_n}=x_n)=Pr(a<X_t<b|X_{t_n}=x_n)
∀t1,t2,...,tn<tPr(a<Xt<b∣X1=x1,X2=x2,...,Xtn=xn)=Pr(a<Xt<b∣Xtn=xn)
这蕴含着条件独立性。
转移概率函数：
p
(
x
,
s
;
t
,
A
)
=
P
r
(
X
t
∈
A
∣
X
s
=
x
)
p(x,s;t,A)=Pr(X_t\in A|X_s=x)
p(x,s;t,A)=Pr(Xt∈A∣Xs=x)
马尔科夫链：状态空间是有限或可数的马尔可夫过程。
扩散过程：状态空间是连续的马尔可夫过程。
平稳过程
严格平稳：对任意 h > 0 h>0 h>0和任意 t 1 , t 2 , . . . , t n ∈ T t_1,t_2,...,t_n\in T t1,t2,...,tn∈T，随机变量组 ( X t 1 + h , X t 2 + h , . . . , X t n + h ) (X_{t_1+h},X_{t_2+h},...,X_{t_n+h}) (Xt1+h,Xt2+h,...,Xtn+h)和 ( X t 1 , X t 2 , . . . , X t n ) (X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_n}) (Xt1,Xt2,...,Xtn)的联合分布函数相同。
特别的对任意时刻t， X t X_t Xt的分布都相同。
称马尔可夫过程有平稳转移概率，如果 p ( x , s ; t , A ) p(x,s;t,A) p(x,s;t,A)是 t − s t-s t−s的函数。
泊松过程和布朗运动都不是平稳的，但增量 Z t = X t + h − X t Zt = X_{t+h} − X_t Zt=Xt+h−Xt对任意固定h是平稳随机过程
不存在非常数的平稳独立增量过程是平稳过程。
更新过程
点过程
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