线性代数知识

一、行列式（数）

1.性质(对行、列都成立)

		1.转置值不变
        2.互换两行，值变号
        3.两行元素完全相同，值为0
        4.行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍，D不变。
        5.某一行元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和=0
        6.用数k乘"某一行"	==>	kD	;	行列式整体提k,相当于把k^n提出来
        7.若某一行元素是两数之和，则行列式可以拆成两个行列式的和
        8.克莱姆法则(前提:n个方程组 n个未知数 ):D!=0,有唯一解，D==0，有非零解

2.行列式的计算

（1）对角线法则

	1.适用范围:	1-3阶行列式

（2）展开公式

0）使用技巧

	(1) 4阶以上
    (2) 多化0好展开

1）背景知识

余子式M 与 代数余子式A

	想到展开公式、M、A的概念以及A* 	

2）按行展开定理定义

 	D = 某一行的所有元素a与其对应A(代数余子式)乘积之和

3）展开公式推论

	某一行所有元素与另一行相应元素的A(代数余子式)的乘积之和 == 0

（3）公式运算（>展开）

图片1

	3为拉普拉斯公式

1.拉普拉斯 例题

2.范德蒙德 证明

	//复习全书	P148	例题8
    "(归纳法)" : 对Dn,从第n行开始，依次把上一行的 -x1 倍加到下一行

范德蒙德 例题

（4）爪形（不看对角线）（未完待续）

例题

♥技巧1

	每一行 + 到第一行 ==> 提公因数 ==> 化上下三角

♥技巧2

	"第一行的-1倍" 分别 加到其他各行 ==> "得到爪形" ==> 每一列都加到第一列 ==> 化上下三角

技巧3

	从倒数第二行开始，依次把上一行的-1倍加到下一行；然后把各列都加到第一列，按第一列展开

爪形例题

	"第一行的-1倍" 分别 加到其他各行	 ==> "化为爪形" ==> 通过 "列变换" ==> 化为上下三角

特征值（未完待续）

（5）求特征值的题

♥技巧

	遮掉主对角线的元素，观察其余元素，找出那两个数（要么同行要么同列，化的时候看这两行或者两列看看能不能出公因数就行）加加减减化为0的同时可以化出未知数的公因数

3.克拉默法则（证明题）

"前提条件"：	n个方程组，n个未知数
        
"推论："
   		 	D ！= 0  ==> 方程组有唯一解
   					==>	x1=D1/D		x2=D2/D 	x3=D3/D	.....
	
    	1.齐次方程组 D==0 ==> 有非零解,非满秩
    	2.齐次方程组	D!=0 ==> 只有唯一零解，满秩

二、矩阵（表格）

1. 运算

	1.加法："同型矩阵"
    2.数乘：
        (1).kA = [kaij]		"每一个元素都乘k"，与行列式区分开来
    3.矩阵相乘："外型内同"
        (1)AB != BA								  ==>	没有交换律
        (2)AB = 0 			"推不出" A=0 或者 B=0	   	
        (3)AB = AC, A!=0 	"推不出" B == C 		==>	  没有消去律
        

2.转置运算法则

3.对角矩阵 ^

	//前提：一定时N阶矩阵

4. n维列向量

		♥一见到 "行在前列在后"的就想到一定藏有"数",特别是展开的时候，有数就可以提出来

        	♥.123是矩阵 			456是数
            ♥.2是1的转置
            ♥.3是对称矩阵，代表对称矩阵
            ♥.6是列矩阵元素平方和，>=0
            ♥.4和5相等，其值是1(2)主对角线元素之和,也叫矩阵的迹

5.伴随矩阵

♥♥♥重要公式

6.可逆矩阵（N阶）

	1.定义：AB = BA = E
   	
    2.♥定理♥
    	(1)如果A可逆 ==> A逆唯一，记作 A-
        	"推论" : A、B是N阶矩阵，如果AB = E，则 A- = B
        	==> 这个推论告诉我们，只要证明AB=E就能直接推出A的逆 == B
            
    	(2)A可逆  <==>	|A|!=0
            
        (3)可逆矩阵 ==> 满秩,线性无关，特征值全不为0

性质公式

定理(1)的证明

♥做题技巧

	看看这里"加E"的变形

7.可逆矩阵的求法

	1.定义法		 AB = BA = E
    2.用伴随矩阵 	A- = 1/|A|A*		2阶最好，3阶也行
    3.初等行变换		(A|E) -> 把A化为E 
    4.分块矩阵

8.初等变换、初等矩阵、等价矩阵

	//左乘行变换，右乘列变换
    初等矩阵:	经"一次"初等变换得到的矩阵 ，初等矩阵均可逆，且其逆是同一类型的矩阵	
  	矩阵等价：  A经有限次初等变换得到的矩阵B,    A 等价 B ==> r(A)==r(B)

求初等矩阵的逆矩阵

9.分块矩阵（重要技巧）