多重背包问题

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题目描述

为了庆贺班级在校运动会上取得全校第一名成绩，班主任决定开一场庆功会，为此拨款购买奖品犒劳运动员。期望拨款金额能购买最大价值的奖品，可以补充他们的精力和体力。

输入

第一行二个数n(n≤500)，m(m≤6000)，其中n代表希望购买的奖品的种数，m表示拨款金额。

接下来n行，每行3个数，v、w、s，分别表示第I种奖品的价格、价值（价格与价值是不同的概念）和能购买的最大数量（买0件到s件均可），其中v≤100，w≤1000，s≤10。

输出

一行：一个数，表示此次购买能获得的最大的价值（注意！不是价格）。

样例输入

5 1000
80 20 4
40 50 9
30 50 7
40 30 6
20 20 1

样例输出

1040

        思路：普通的解法就是在01背包的基础上多加一层循环遍历每种物品的数量。需要特别注意约束条件有两个，一是不能超过物品数量，二是不能超过经费。代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[505],w[505],s[505]; 
int dp[6005]; 
int main() {
	int n,m;
	cin >> n >> m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=m;j>=1;j--) {
			for(int k=0;k<=s[i] && j>=k*v[i];k++) {//两个限制条件 
				dp[j] = max(dp[j],dp[j-k*v[i]]+k*w[i]);
			}
		}
	}
	cout << dp[m] << endl;
	return 0;
}

        本题k限制了10，所以可以AC，但程序还可以优化。优化的思路是利用二进制思想，如7 = 1+2+4，那么7以内的数都可以用1,2,4中的若干个数相加得到，所以本题可以将多个一种物品通过该思路优化成一个多种物品，剩下的就和01背包问题一样了。代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[250005],w[250005],s;
int dp[250005];
int main() {
	int n,m,cnt = 1;
	cin >> n >> m;
	for(int i=0;i<n;i++) {
		int vi,wi,s;
		scanf("%d%d%d",&vi,&wi,&s);
		int k = 1;
		while(k<=s) {
			cnt++;
			v[cnt] = vi*k;
			w[cnt] = wi*k;
			s -= k;
			k *= 1;
		}
		if(s) {//若s还有剩余需要另外考虑，如10=1+2+4+3,3就需要另外考虑 
			cnt++;
			v[cnt] = vi*s;
			w[cnt] = wi*s;
		}
	}
	n = cnt;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=m;j>=0;j--)
			if(j>=v[i])
				dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
	cout << dp[m] << endl;
	return 0;
}

题目来源：蓝桥杯ACM训练系统 - C语言网 (dotcpp.com)

参考资料：https://blog.youkuaiyun.com/hnjzsyjyj/article/details/109363826