【数理统计】正态分布和对数正态分布有什么关系

对数正态分布（Log-Normal Distribution）是一种概率分布，其来源与数据的乘法性质密切相关。它起源于许多实际现象，主要与自然现象和经济活动相关。本质上，如果一个变量的对数服从正态分布，那么这个变量就是对数正态分布：

1. 定义与特性

• 对数正态分布的随机变量XX的对数（自然对数）Y=ln⁡(X)服从正态分布，即：

Y∼N(μ,σ2)

• 其概率密度函数（PDF）表达为：

 2. 推导

我们开始定义对数正态分布。给定一个随机变量 XX，如果它的对数 Y=ln⁡(X)Y=ln(X) 服从正态分布，即：

Y∼N(μ,σ2)

正态分布的概率密度函数为：

我们通过对数变换得到 XX 的概率密度函数。由于 Y=ln⁡(X)，我们需要找到 X的概率密度函数 。

首先，设 则 y=ln⁡(x)。然后，我们需要对 x进行求导，得到 

根据概率密度函数变换的公式，若 Y 是 X 的函数，则 X 的概率密度函数可以表示为：

将 y换成 ln⁡(x)并结合上述的 dy/dx 的表达式：

 将替换为 ln⁡(x)的值：

现在将的表达式代入的公式：

最终得到 X的概率密度函数，即对数正态分布的形式：