约数（试除法求约数，约数个数，约数之和，最大公约数）

试除法求约数 $O(\sqrt{n})$

需要注意的是如果一个数是平方数的话需要特判一下只加一个进去
模板题：AcWing 869. 试除法求约数

核心代码如下：

for(int i = 1; i <= a / i; ++i)
{
    if(a % i == 0)
    {
        ans.push_back(i);
        if(i != a / i)
            ans.push_back(a / i);
    }
}

约数个数

$N=p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}\ast p_3^{a_3}\cdot \cdot \cdot p_n^{a_n}，其中p是质因子$
那么约数个数$cnt=(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)\cdot \cdot \cdot (a_n+1)$

模板题：AcWing 870. 约数个数

模板代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int mod = 1e9 + 7;
int n, a;

int main()
{
    map<int, int> m;
    scanf("%d", &n);
    while(n--)
    {
        scanf("%d", &a);
        for(int i = 2; i <= a / i; ++i)
        {
            if(a % i == 0)
            {
                while(a % i == 0)
                {
                    ++m[i];
                    a /= i;
                }
            }
        }
        if(a>1)//记得这里还要考虑如果还有一个比较大的质因数
            ++m[a];
    }

    ll res = 1;
    for(auto it: m)
        res = res * (1 + it.second) % mod;

    printf("%lld", res);
    return 0;
}

约数之和

$N=p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}\ast p_3^{a_3}\cdot \cdot \cdot p_n^{a_n}，其中p是质因子$
$N$ 的所有约数之和
$sum=(p_1^0+p_1^1+p_1^2+\cdot \cdot \cdot +p_1^{a_1})(p_2^0+p_2^1+p_2^2+\cdot \cdot \cdot +p_2^{a_2})\cdot \cdot \cdot (p_n^0+p_n^1+p_n^2+\cdot \cdot \cdot +p_n^{a_n})$

模板题：AcWing 871. 约数之和

下面这是个运算技巧
$while(a--)$
$t=(t\ast b+1)\%mod;$

AC代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
const int mod=1e9+7;

int n,a;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    map<int,int>m;
    while(n--)
    {
        scanf("%d",&a);
        for(int i=2;i<=a/i;++i)
            if(a%i==0)
            {
                while(a%i==0)
                {
                    ++m[i];
                    a/=i;
                }
            }
            
        if(a>1)
            ++m[a];
    }
    
    ll res=1;
    for(auto x:m)
    {
        int b=x.first,a=x.second;
        ll t=1;
        while(a--)
            t=(t*b+1)%mod;
        res=res*t%mod;
    }
    printf("%lld",res);
    return 0;
}

用递归来求如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
const int mod = 1e9 + 7;
int n, a;

ll qmi(ll p, int k)
{
    p %= mod;
    ll ans = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1)
            ans = ans * p % mod;
        p = p * p % mod;
        k >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll sum(int p, int k)
{

    if(k == 0)
        return 1;
    if(k & 1)//如果是奇数次幂
        return ((1 + qmi(p, k / 2 + 1)) * sum(p, k / 2)) % mod;
    else//如果是偶数次幂
        return (p % mod * sum(p, k - 1) + 1) % mod;
}

int main()
{
    map<int, int> m;
    scanf("%d", &n);
    while(n--)
    {
        scanf("%d", &a);
        for(int i = 2; i <= a / i; ++i)
        {
            if(a % i == 0)
            {
                while(a % i == 0)
                {
                    ++m[i];
                    a /= i;
                }
            }
        }
        if(a > 1)
            ++m[a];
    }

    ll res = 1;
    for(auto it: m)
        res = sum(it.first, it.second) * res % mod;

    printf("%lld", res);
    return 0;
}

最大公约数

欧几里得算法==辗转相除法

如果$d|a$，并且$d|b$，那么有 $d|ax+by$
所以$(a,b)=(b,amodb)$
理由如下:
$(b,amodb)$等价于$(b,a-c\ast b)$，$c$ 是一个整数
$(a,b)$与$(b,a-c\ast b)$可以由倍数互相转换
模板题：AcWing 872. 最大公约数
核心代码如下：

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;//gcd()经过变换之后里面一定是左大右小
}