bellman-ford （有边数限制的最短路，可能存在负权路）

最短路径中不能包含负权回路，有负权回路的边可能不存在最短路。因为每次经过负权回路，路径的权值会减少。有些图结构中会存在负权边，用于表达通过某条途径可以降低总消耗，在有向图中，负权边不一定会形成负权回路，所以在一些计算最短路径算法中，负权边也可以计算出最短路径；在无向图中，负权边就意味着负权回路，所以无向图中不能存在负权边。
作者：zhipingChen
链接：https://www.jianshu.com/p/b876fe9b2338
来源：简书
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松弛函数

对边集合 $E$ 中任意边，以$w(u,v)$表示顶点 $u$ 出发到顶点 $v$ 的边的权值，以 $d[v]$ 表示当前从起点 $s$ 到顶点 $v$ 的路径权值
若存在边 $w(u,v)$，使得：$d[v]>d[u]+w(u,v)$
则更新 $d[v]$ 值：$d[v]=d[u]+w(u,v)$
所以松弛函数的作用，就是判断是否经过某个顶点，或者说经过某条边，可以缩短起点到终点的路径权值
为什么将缩短距离的操作称之为“松弛”，不妨理解为，选择某种方式后，到达目的的总代价降低了。什么名字无关紧要，不必纠结。

作者：zhipingChen
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$Bellman\_ford$算法

可以用来求负权边最短路
找一个图是否有负环，但一般不用$Bellman\_ford$来做，一般用$spfa$来做
有边数限制的只能用$Bellman\_ford$来做，其他都不行

模板题：AcWing 853.有边数限制的最短路
步骤如下：
1、老规矩，初始化距离数组：
$memset(dist,0x3f,sizeof(dist))$
$dist[1]=0;$

2、$for(i=1;i<=k;++i)$ 这个含义是迭代k次，就能求出不超过 $k$ 条边的最短距离

3、$for所有边a,b,w$，如果两个点之间不存在边就不用更新，我们只更新存在两个点之间存在边的边
$dist[b]=min(dist[b],dist[a]+w)$PS：这一步称为松弛操作

4、$if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2)$，说明不超过 $k$ 条边，到不了 $n$ 这个点
理由：假如 $m$ 到 $n$ 存在一个负权 $-2$，那么更新的时候$dist[n]=min(dist[n],dist[m]+(-2))$
这个时候的 $dist[n]$ 就不是 $0x3f3f3f3f$ 了，而是比 $0x3f3f3f3f$还小的数，但不会小太多，这道题最多小 $10000\ast 500=5000000$，五百万这么多。所以除以 $2$ 就是了

注意在更新距离的时候我们一定要备份一个距离数组，防止出现串联用多次
这道题我们用结构体来存边，AC代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;

struct Edge
{
    int a,b,c;
}edge[MAXN];
int dist[MAXN],backup[MAXN],n,m,k,x,y,z;

int bellman_ford()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));//初始化
    dist[1]=0;
    
    for(int i=1;i<=k;++i)
    {
        memcpy(backup,dist,sizeof(dist));//记得备份啊
        for(int j=1;j<=m;++j)
            dist[edge[j].b]=min(dist[edge[j].b],backup[edge[j].a]+edge[j].c);
    }
    
    if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2)
        printf("impossible");
    else
        printf("%d",dist[n]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        edge[i]={x,y,z};
    }
    
    bellman_ford();
    return 0;
}