背包问题(单调队列优化)

多重背包问题III

传送门Acwing

提示 本题考查多重背包的单调队列优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

一、传统的多种背包问题

for(int i = 1; i <= n; i ++)              //枚举背包
        for(int j = 1; j <= m; j ++)      //枚举体积
            for(int k = 0; k <= s[i]; k ++)
                if(j >=  k * v[i]){
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);

状态转移方程： f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
优化 ：f[j] = max(g[j], g[j - k * v[i]] + k * w[i]); g[] 上层 f[] 当层

分析：你品 你细品 —状态转移方程 将他进行拆分

j是对物品体积取模(余数) 进行分类
每一类都相互独立

按上述减 n*w 减的是上下的偏移量即下图
这里默认为完全背包，即不会超出他的数量

这里便是个滑动窗口问题，用单调队列优化即可解决问题
为了方便多重背包即该物品数量有限制的情况
示例：
背包容量为8
该物品的数量为2
该物品的体积为 2
该物品的价值为w
这里例举 j=0即余数为0的时候

每层减去偏移量即下图

每行都求橙色框中的最大值
即典型的单调队列问题—滑动窗口

代码分析：

int f[N];  //f为当层
int g[N];  //g为上层
int q[N];  //单调q队列  存储队列的index下标
int hh=1，tt=-1;//hh指向头  tt指向尾  ||  tt<hh 即尾空队列
int v，w，s // 物品体积 物品价值 物品数量 

双向队列分三种情况：
1.当队列数量超出时候 hh++出队
2.当前元素大于末尾元素时候 tt–出队 直到队列末尾元素大于当前元素
3.入队列
但是q队列存储的是下标又如何知道队列的队尾和队头的值：
1.由上分析可知每次入队列的元素都是g[k]-(k-j)/vw (k-j)/vw 即为他的偏移量
2.同理队尾元素即g[q[tt]]-(q[tt]-j)/vw，
3.但是要录入f[]的是上层队头g[q[hh]]+偏移量(队头位置(即当前位置k-队头元素位置q[hh])/vw)

完整 代码示例：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=20005;
int f[N],g[N],q[N];
int main(){
	int V,n;
	cin>>n>>V;
	for(int i=0;i<n;i++){
		memcpy(g,f,sizeof(f));
		int v,w,s;
		cin>>v>>w>>s;
		for(int j=0;j<v;j++){//枚举余数
			int hh=0,tt=-1;
			for(int k=j;k<=V;k+=v){//枚举余数相同的同类
				if(tt>=hh&&(k-q[hh])/v>s) hh++;
				if(tt>=hh)  f[k]=max(g[k],g[q[hh]]+(k-q[hh])/v*w);
				while(tt>=hh&&g[q[tt]]-(q[tt]-j)/v*w<g[k]-(k-j)/v*w)   tt--; 
				q[++tt]=k;
			}
		}
	}
	cout<<f[V]<<endl;
	return 0;
}