求组合数（快速幂求逆元）

最新推荐文章于 2021-08-10 15:31:33 发布

JJy_

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求组合数（快速幂求逆元）

费马小定理：

当如果***p是一个质数且整数a不是p的倍数***则有

$ap−1≡1a^{p-1} \equiv 1$ (mod p)

乘法逆元定义：

如果整数b，m互质，且对于任意的整数a，如果满嘴b|a，则存在一个整数x满足 a/b $≡\equiv$ a * x (mod m)

则称x是b的逆元

b存在逆元的充要条件是b与模数m互质，且m为质数：

$b^{m-2}即为b的逆元$

在这里插入图片描述

快速幂就可以求出这个逆元了

求组合数

$Cab=a!(a−b)!b!C_a^b = \frac{a!}{(a-b)!b!}$

$C_a^b = C_a^{b-1}+C_{a-1}^{b-1}$

两个公式的选取取决于是查找的范围大还是ab的范围大

如果查找的范围很大，ab的范围很小，那么直接预处理所有的C的值即可时间复杂度为N*N（ab的范围）

如果ab的范围很大，则用第一条进行预处理，查询则直接查即可，时间复杂度为 NlogN

因为要mod 1e9 + 7 ，除法的mod不好mod，所以这一步需要用到逆元。

注意！！！ 0的阶乘是1

#include<iostream>
using namespace std;

int n;
const int N = 100010,  mod =1e9 + 7;
int fact[N],infact[N];

typedef long long ll;

int qmi(int a ,int  k ,int  m)
{
    int res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1)
            res  = (ll)res * a % m;
        
        a = (ll)a  * a % m;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    cin>>n;
    fact[0]= infact[0] = 1;
    //预处理
    for(int i = 1 ;i <= N; i++)
    {
        fact[i] = (ll)fact[i-1] * i % mod;
        infact[i] = (ll)infact[i-1] * qmi(i,mod - 2, mod) % mod;
    }
    
    for(int i = 0 ;i < n ;i ++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        cout<<(ll)fact[x] * infact[y] % mod * infact[x - y]%mod<<endl; 
    }
    
}