【每日算法】Day 5-2：位运算核心技巧——从基础到高频题实战（C++实现）-优快云博客

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解锁算法效率密码！今日系统解析位运算的底层原理与实战技巧，涵盖状态压缩、位掩码、位运算优化等场景，结合大厂高频真题，彻底掌握O(1)空间复杂度的优化利器。

一、位运算核心操作符

运算符	符号	功能说明	应用场景
与	`&`	两数对应位均为1则1	掩码操作、取特定位
或	`\|`	两数对应位有1则1	合并标记位
异或	`^`	两数对应位不同则1	数值交换、消除重复项
取反	`~`	按位取反	配合掩码使用
左移	`<<`	所有位左移，低位补0	快速乘2
右移	`>>`	所有位右移，高位补符号位	快速除2（算术右移）

二、六大高频应用场景

场景1：快速判断奇偶性

bool isOdd(int n) {
    return n & 1; // 奇数返回1，偶数返回0
}

场景2：交换两数（无需临时变量）

void swap(int &a, int &b) {
    a ^= b; // a = a^b
    b ^= a; // b = b^(a^b) = a
    a ^= b; // a = (a^b)^a = b
}

场景3：计算二进制中1的个数（汉明重量）

int hammingWeight(uint32_t n) {
    int count = 0;
    while (n) {
        n &= (n - 1); // 消除最右侧的1
        count++;
    }
    return count;
}

场景4：状态压缩（N皇后问题优化）

int totalNQueens(int n) {
    int count = 0;
    function<void(int, int, int, int)> dfs = [&](int row, int cols, int diag1, int diag2) {
        if (row == n) { count++; return; }
        int bits = (~(cols | diag1 | diag2)) & ((1 << n) - 1); // 可放置位置
        while (bits) {
            int pick = bits & -bits; // 取最低位的1
            dfs(row+1, cols | pick, (diag1 | pick) << 1, (diag2 | pick) >> 1);
            bits &= bits - 1; // 移除最低位的1
        }
    };
    dfs(0, 0, 0, 0);
    return count;
}

场景5：快速幂运算（模运算优化）

long long quickPow(long long a, int b, int mod) {
    long long res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (res * a) % mod; // 当前位为1时累积
        a = (a * a) % mod; // 平方倍增
        b >>= 1; // 右移一位
    }
    return res;
}

场景6：只出现一次的数字（LeetCode 136）

int singleNumber(vector<int>& nums) {
    int res = 0;
    for (int num : nums) res ^= num; // 异或消除重复项
    return res;
}

三、大厂真题实战

真题1：二进制求和

题目描述：
给定两个二进制字符串，返回它们的和（二进制表示）
位运算解法：

string addBinary(string a, string b) {
    int i = a.size()-1, j = b.size()-1, carry = 0;
    string res;
    while (i >= 0 || j >= 0 || carry) {
        int sum = carry;
        if (i >= 0) sum += a[i--] - '0';
        if (j >= 0) sum += b[j--] - '0';
        res.push_back((sum & 1) + '0'); // 取当前位
        carry = sum >> 1;              // 计算进位
    }
    reverse(res.begin(), res.end());
    return res;
}

真题2：子集生成

题目描述：
给定不含重复元素的整数数组，返回所有可能的子集
位掩码解法：

vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    vector<vector<int>> res;
    for (int mask = 0; mask < (1 << n); ++mask) {
        vector<int> subset;
        for (int i = 0; i < n; ++i) 
            if (mask & (1 << i)) 
                subset.push_back(nums[i]);
        res.push_back(subset);
    }
    return res;
}

四、位运算优化技巧

技巧名称	实现方式	应用场景
消除最低位1	`n & (n - 1)`	计算二进制1的个数
取最低位1	`n & -n`	状态压缩枚举
奇偶性判断	`n & 1`	快速判断奇偶
绝对值计算	`(n ^ (n >> 31)) - (n >> 31)`	避免分支判断
大小写转换	`c ^= 32`	ASCII字符转换

五、常见误区与避坑指南

1.运算符优先级：位运算符优先级低于比较运算符，需加括号

if (n & 1 == 0) → 错误！应写为 if ((n & 1) == 0)

2. 位移溢出：左移超过位数导致未定义行为（如1 << 32在32位系统中）

3. 符号位处理：右移运算的符号位扩展问题（使用无符号类型避免）

4. 类型转换陷阱：混合类型运算导致意外结果（如~0在char类型为-1）

5. 循环终止条件：负数右移可能陷入死循环（应使用无符号类型）

六、总结与扩展

核心优势：

将时间复杂度优化至O(1)空间复杂度
利用位级并行性提升计算效率
适用于状态压缩、哈希优化等场景

扩展思考：

如何用位运算实现浮点数快速乘除？
如何设计基于位运算的布隆过滤器？
位运算在密码学中的典型应用有哪些？

LeetCode真题训练：