4.14每日一题——栗酱的数列

学习算法的小菜鸡

已于 2022-04-13 22:38:17 修改

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文章标签： kmp 差分思维 c++

于 2022-04-13 19:03:06 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_52314777/article/details/124148615

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本文介绍了一种解决算法问题的方法，通过差分预处理将给定的数列问题转化为寻找长度为m的连续子序列在模k条件下的出现次数，利用KMP算法进行高效匹配。博客详细讲解了问题转化过程和C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

🎈文章目录

🎉🎉🎉🎉号外号外高校算法学习社区开始新活动啦🚩🚩🚩因为同学们的基础不一样，觉得原来的每日一题比较简单,所以我们决定开设一个普及组一个提高组🙇🙇🙇提高组由我负责，每日一题，我们一起卷起来🚀🚀🚀

🌴题目描述

栗酱有一个长度为n的数列A，一个长度为m的数列B，现在询问A中有多少个长度为m的连续子序列A’，满足 $(a'1+b1)\%k = (a'2+b2)\%k = …… = (a'm + bm)\%k$ 。

🌃解题报告

1.通过差分预处理来化解式子

我们看到这题时候首先能看到一个奇怪的式子,我们先要想办法把他弄得好看一点。 $(a1+b1)\%k==(a2+b2)\%k$ 我们可以转化为 $(a1-a2+b1-b2)\%k==0$ 但是对于照相等子序列的问题我们一般是对数组做的，所以我们可以把 $a 1 - a 2$ 看成一项，也就是预处理一个差分数组。预处理差分数组以后我们就可以把这一道题转化成:
在一个长度为n的数列A'中寻找长度为m的序列B'作为子序列一共出现了多少次

2.通过kmp求解答案

转化之后就清楚多了，就是一个kmp的模板题，我们就可以用kmp算法求解出这个问题。只需要注意到这道题的相等关系是在模k意义下的，也就是同余，所以匹配时的相等要写成差模k等于0。

🍬AC代码（c++）

#include<iostream>
#define endl "\n"
#define int long long

using namespace std;

const int N=2e5+10;
int ne[N];
int a[N],b[N];
int doa[N],dob[N];

void run() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
}

signed main() {
    run();
    int t;
    cin>>t;
    while(t--) {
         int n,m,k;
        cin>>n>>m>>k;
        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
        for(int i=1;i<=m;i++) cin>>b[i];
        for(int i=1;i<n;i++) doa[i]=(a[i+1]%k-a[i]%k+k)%k;
        for(int i=1;i<m;i++) dob[i]=(b[i+1]%k-b[i]%k+k)%k;
        ne[1]=0;
        for(int i=2;i<m;i++) {
            ne[i]=ne[i-1];
            while(ne[i]&&dob[ne[i]+1]!=dob[i]) ne[i]=ne[ne[i]];
            if(dob[ne[i]+1]==dob[i]) ne[i]++;
        }
        int ans=0;
        for(int i=1,j=0;i<n;i++) {
            while(j&&(dob[j+1]+doa[i])%k) j=ne[j];
            if((dob[j+1]+doa[i])%k==0) j++;
            if(j==m-1) {
                ans++;
                j=ne[j];
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
}