算法笔记（13）：埃氏筛与欧拉筛

在刷算法题的时候经常遇到与质数有关的问题，而普通方式筛选质数十分耗时(判断n是否为质数的$O(n)$ 或$O(\sqrt{n})$比较耗时)，故今天学习了埃氏筛和欧拉筛两种算法。

埃氏筛

int prime[N];//记录[1,N]中所有质数，从小到大排序
int vis[N];//vis[i]=1当i是合数
vis[0] = vis[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++)
{
  	if (!vis[i])
    {
        prime[cnt++] = i;
       	for (int j = i * i; j <= N; j+=i)
             vis[j] = 1;
    }
}

算法核心思想

遍历$[1,N]$，对于每一个质数，记下它并将它的倍数设置为合数。

算法需要考虑的两个问题：

1. 能否保证vis[i]的准确性
2. 筛选是否完全

先来考虑第一个问题
当$i$为质数时，vis[i]一定为0(只有质数的倍数的vis被设为1，显然质数的vis都为0)；
当$i$为合数时，则由算术分解定理，i可以被拆分为$p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times ...\times p_n^{k_n}$，其中p为质数。再进一步，则有$i=p_{min}\times k=p_{min}+p_{min}+...+p_{min}$，其中$p_{min}$为i的最小质因子，意味着在前面的循环过程中vis[i]已经被赋值为1了。综上vis[i]是准确的。
再来考虑第二个问题
既然vis[i]数组是准确的，则遍历完成后即正确完成筛选。
算法缺陷
一个数可能被多次筛选，如$30=2\times 15=3\times 10=5\times 6=...$，这种重复筛选是无意义的
复杂度：$O(n\lg \lg n)$

欧拉筛

int prime[N];//记录[1,N]中所有质数，从小到大排序
int vis[N];//vis[i]=1当i是合数
vis[0] = vis[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++)
{
    if (!vis[i])
        prime[cnt++] = i;
    for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i <= N; j++)
    {
        vis[i * prime[j]] = 1;
        if (i % prime[j] == 0)//降低复杂度的核心步骤
                break;
    }
}

算法核心思想

利用任何数都是可以分解为其最小质因数的x倍的性质来进行筛选，此处遍历的i是倍数

核心步骤的理解
在欧拉筛算法中，我们降低复杂度的方式就是去除重复筛选，而去重的方式就是我们只通过某个数的最小质因数的k倍来将这个数的vis置1，这样做使得任何数的vis都不会被重复置1。那么问题就是怎么保证$prime[j]$是$i\times prime[j]$的最小质因数，易知我们只需要考虑i的最小质因子大于等于$prime[j]$就可以了，即在每次执行后都去判断$prime[j]$是否是i的质因子，是的时候则不用再去执行$vis[i\times prime[j+1]]$(显然此时$prime[j+1]$已经不是$i\times prime[j+1]$的最小质因子了)

复杂度： $O(N)$