定理定理定理-优快云博客

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本文深入探讨欧拉函数的定义、欧拉函数公式、容斥原理的应用，以及如何通过筛法和欧拉定理求解。实例演示了计算欧拉函数的代码，并介绍欧拉定理在数学和计算机科学中的重要性。

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威尔逊定理在写了在写了

互质

对于任意的自然数 $a, b$ 若有 $g c d (a, b) = 1$ ，则说 $a, b$ 互为质数。

欧拉函数（容斥定理）

解析

一、欧拉函数

欧拉函数 $\varphi(n)$ ，指的是 $1\sim n$ 中与 $n$ 互质的数的个数。 $\varphi(6)=2$ 。

欧拉函数存在一个公式，这个公式同样要使用之前的算数基本定理。
$N=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$

$\varphi(N)=N(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots(1-\frac{1}{p_k})$

$\varphi(6)=6(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})=2$ 。

二、求解

这里使用了容斥原理，

（1）从 $1\sim N$ 中去除 $p_1,p_2,\cdots,p_k$ 的所有倍数。

（2）加上所有 $p_i*p_j$ 的倍数。

（3）减去所有 $p_i*p_j*p_k$ 的倍数。

（4） $\cdots$ 。

使用公式表现为。
$\begin{aligned} \varphi(n)=& N-\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2}-\cdots-\frac{N}{p_k}\\ & +\frac{N}{p_1p_2}+\frac{N}{p_1p_3}+\cdots+\frac{N}{p_{k-1}p_k}\\ & -\frac{N}{p_1p_2p_3}-\frac{N}{p_1p_2p_4}-\cdots-\frac{N}{p_{k-2}p_{k-1}p_k}\\ & \cdots\cdots \end{aligned}$
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模板

int phi(int x){
    int res=x;
    for(int i=2;i<=x/i;i++)
        if (x%i==0){
            res=res/i*(i-1);
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    if(x>1)res=res/x*(x-1);
    return res;
}

例题

873. 欧拉函数 - AcWing题库

#include <iostream>
using namespace std;
int t,n;
int phi(int x){
    int res=x;
    for(int i=2;i<=x/i;i++){
        if(x%i==0){
            res=res/i*(i-1);
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1)res=res/x*(x-1);
    return res;
}
void slove(){
    cin>>n;
    cout<<phi(n)<<endl;
}
int main(){
    cin>>t;
    while(t--)slove();
    return 0;
}

筛法求欧拉函数

解析

筛法求欧拉函数是在线性筛质数的过程中可以顺带完成的。

模板

void get_eulers(int n){
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]){
            primes[cnt++]=i;
            euler[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){
            int t=primes[j]*i;
            st[t]=true;
            if(i%primes[j]==0){
                euler[t]=euler[i]*primes[j];
                break;
            }
            euler[t]=euler[i]*(primes[j]-1);
        }
    }
}

例题

874. 筛法求欧拉函数 - AcWing题库

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e6+10;
int primes[N],cnt,euler[N],n;
bool st[N];
void get_eulers(int n){
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]){
            primes[cnt++]=i;
            euler[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){
            int t=primes[j]*i;
            st[t]=true;
            if(i%primes[j]==0){
                euler[t]=euler[i]*primes[j];
                break;
            }
            euler[t]=euler[i]*(primes[j]-1);
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    get_eulers(n);
    LL res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)res+=euler[i];
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}