对称矩阵可以分解为对称矩阵的乘积对称矩阵开根

Banana889

已于 2022-06-04 10:51:57 修改

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文章标签：矩阵线性代数 matlab

于 2022-06-04 10:44:57 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_51397965/article/details/125119537

本文探讨了实对称矩阵如何通过正交矩阵进行对角化，并证明了当矩阵A可对角化时，存在对称矩阵B使得A=B^p。通过MATLAB和Mathematica的实例，展示了对称矩阵求幂次仍保持对称性的性质。文章还给出了具体的证明过程。

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一、命题

1.1 命题描述

$A$ 是一个实对称矩阵，则 $A$ 可以相似对角化，则 $A$ 可以正交相似对角化，即
$\exist 正交矩阵Q，对角矩阵D ,s.t. A = Q^TDQ$
我们要证明的是任给正整数 $p$ ， $A=Bp\exist 对称矩阵B,s.t. \ A = B^p$ ，此时记作 $B = A^{1/p}$

1.2 联系

实对称矩阵 $A$ 可以分解为 $A = B^TB$ 是易证的，一般的线性代数书里面讨论的也是这种分解

但是能否保证 $B$ 对称呢？答案是肯定的，后面会给出一个证明（很简单）。

笔者是在学习数理统计的过程中发现书上直接将协方差矩阵分解为两个矩阵乘积才开始纠结这个问题。

1.3 例子

在MATLAB中可以直接使用^运算符进行求解，例如：

>> A
A =

    2.0000    0.3000
    0.3000    2.0000

>> A^(1/2)

ans =

    1.4102    0.1064
    0.1064    1.4102

>> ans^2

ans =

    2.0000    0.3000
    0.3000    2.0000

或者可以在Mathematica中可以用 MatrixPower[A, 1/3] 求矩阵的幂，我们会发现，求得的矩阵都是对称阵

二、证明

设矩阵A可分解为 $A = Q^TDQ$

$D$ 为对角矩阵，定义 $D^b = diag(d_{11}^b,...,d_{nn}^b)$ ，也就是给对角线上每个元素求b次幂

则有

在这里插入图片描述

因此 $A^{1/p} = Q^TD^{1/p}Q$

显然 $Q^TD^{1/p}Q$ 是对称矩阵，证明结束

因此在MATLAB中，如果对于一个对称矩阵求幂次，得到的一定是对称矩阵