@啊哈哈哈哈哈韩的博客

小明喜欢去公园散步，公园内布置了许多的景点，相互之间通过小路连接，小明希望在观看景点的同时，能够节省体力，走最短的路径。这个专栏主要是我在刷题的过程中总结的一些笔记，因为我学的也很一般，如果有错误和不足之处，还望大家在评论区指出。接下来的 M 行，每行包含三个整数 u, v, w，表示景点 u 和景点 v 之间有一条长度为 w 的双向道路。接下来的 Q 行，每行包含两个整数 start, end，表示一个观景计划的起点和终点。接下里的一行包含一个整数 Q，表示观景计划的数量。

（3）dp数组如何初始化：dp[0][1]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][1] -= prices[0]，dp[0][0]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][0] = 0。（1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][1] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，dp[i][0] 表示第i天不持有股票所得最多现金。输入：prices = [7,6,4,3,1]输入：[7,1,5,3,6,4]

（如果对下标含义不理解就再回顾一下dp数组的含义），如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1])，最后当前节点的状态就是{val2, val1};即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}。（3）确定终止条件：在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回，所以本题dp数组就是一个长度为2的数组。

如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考虑i-1房，然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。（1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i]，考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。输入：[1,2,3,1]

（2）确定递推公式：装满容量（所能装的重量）为j的背包，可由两个方向推导出来，一种是装入第i个物品，另一种是不装第i个物品，所以dp[j] = dp[j] + dp[j-nums[i]]。（5）举例推导dp数组：dp[j]的数值一定是小于等于j的。（3）dp数组如何初始化：从dp[j]的定义来看，当尚未遍历物品时，dp[0]等于1，即不装入任何物品，剩下的全部初始化为0。（1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[j] 表示 装满容量（所能装的重量）为j的背包的方法数。

如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。（2）确定递推公式：本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。（1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[j] 表示 容量（所能装的重量）为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，

如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。（2）确定递推公式：本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);（1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[j] 表示 容量（所能装的重量）为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。这是 背包算法可以解决的经典类型题目。

放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值。因此递推公式为dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])。输出一个整数，代表小明能够携带的研究材料的最大价值。

（3）dp数组如何初始化：因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定为1，dp[0][j]也同理。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。现在考虑网格中有障碍物。（1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][j] 表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。（2）确定递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，但要注意当有障碍时，dp[i][j] = 0。

（2）确定递推公式：想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]，因此dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。问总共有多少条不同的路径？（1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][j]表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。（4）确定遍历顺序：dp[i][j]由其左方和上方推来，因此要从上至下、从左至右遍历。

dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);（3）dp数组如何初始化：只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]、dp[1]推出，所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0。

（2）确定递推公式：dp[i] 可以有两个方向推出来，首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，再一步跳一个台阶就是dp[i]；还有dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，再一步跳两个台阶就是dp[i]，dp[i]是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和；（1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法；（3）dp数组如何初始化：dp[1] = 1，dp[2] = 2；1 阶 + 1 阶 + 1 阶。

也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n)。（2）确定递推公式：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]；解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1。解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2。解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3。（3）dp数组如何初始化：确定dp[0]和dp[1]；

做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。：简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的，动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的，这个专栏主要是我在刷题的过程中总结的一些笔记，因为我学的也很一般，如果有错误和不足之处，还望大家在评论区指出。