优快云每日一练——硬币划分_1,3,5,7,9分硬币,凑n分,有多少种凑法?n 用int存储就可以分别用一维动规二维动规-优快云博客

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本文介绍了一种使用动态规划解决完全背包问题的方法，具体为计算组成特定金额的不同硬币组合数量。通过逐步解析动态规划的基本步骤，包括定义状态、状态转移方程及初始化条件等，给出了一段C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

有1分，2分，5分，10分四种硬币，每种硬币数量无限，给定n分钱(n<100000)，有多少中组合可以组成n分钱？

输入描述

输入整数n.(1<=n<=100000)

输出描述

输出组合数，答案对1e9+7取模。

这是完全背包问题和背包方案数量问题的组合，这两个问题是非常经典的问题，感兴趣的可以了解一下（博主也会尽快写出来的）。掌握了常见的背包问题模型，对动态规划的理解会更进一步。

动态规划方法

动态规划做题步骤：

1.明确dp[i]表示什么

2.根据dp[i]和dp[i-1]的关系得出状态转移方程

3.确定初始条件

使用dp[i][j]表示前i中面值的硬币构成面值为j的方案的数量， $c_{i}$ 表示第i种硬币的面值。可以推导出状态转移方程：

dp[i][j]=dp[i-1][j-0* $c_{i}$ ]+dp[i-1][j-1* $c_{i}$ ]+...+dp[i-1][j-k* $c_{i}$ ] （k为满足j-k* $c_{i}$ >=0的最大整数）

优化：

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1* $c_{i}$ ]+...+dp[i-1][j-k* $c_{i}$ ]

用j- $c_{i}$ 替换j得到：dp[i][j- $c_{i}$ ]=dp[i-1][j-1* $c_{i}$ ]+...+dp[i-1][j-k* $c_{i}$ ]

化简得到：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j- $c_{i}$ ]

现在使用的是二维数组，但是dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j- $c_{i}$ ]，更新dp只需要用到第i行和i-1行，所以可以用滚动数组来进行优化，用一个一维数组DP[n]表示在计算第i轮之前DP数组中存放着i-1轮的答案。

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(N)

#include <iostream>
#include <string>
#include <sstream>
#include <vector>

using namespace std;

int solution(int n){
    int result;
    // TODO:
    int mod=1e9+7;
    int coins[4]={10,5,2,1};
    vector<int> dp(n+1);
    dp[0]=1;
    for(int i=0;i<4;++i){
        int coin=coins[i];
        for(int j=coin;j<=n;++j){
            dp[j]=(dp[j]+dp[j-coin])%mod;
        }
    }
    result=dp[n];
    return result;
}

int main() {

    int n;

    std::cin>>n;

    int result = solution(n);

    std::cout<<result<<std::endl;

    return 0;
}