算法思想——分而治之（思路+经典例题+解析）

本篇着重介绍一种算法实现的思想，不针对具体的语言及环境，通过几个经典的例题，说明设计算法的过程中，如何将一个复杂的问题简单化，最终求得我们想要的结果。

所谓“分而治之” 就是把一个复杂的算法问题按一定的“分解”方法分为等价的规模较小的若干部分，然后逐个解决，分别找出各部分的解，把各部分的解组成整个问题的解，这种朴素的思想来源于人们生活与工作的经验，也完全适合于技术领域。

下面的几道经典例题选自与谭浩强老师编著的《C程序设计》(第五版)

例题1：求解（即求1！+2！+......+20！）

解题思路：本题可以分解成为两部分：一是求各自的阶乘，二是将这些阶乘所得数值进行加法运算，对于前者，我们可以设置一个for循环进行累乘操作，而对于后者，需设置一个temp=0进行累加操作，算法如下：（用C语言实现）（这里为方便理解和检查，改成求到加3的阶乘）

void function4() {
	int i;
	int sum = 0;
	for (i = 1; i <= 3; i++) {//外层大for循环表示一共要进行几次加和
		int j;
		int temp = 1;
		for (j = 0; j < i; j++) {
			temp = temp * (j + 1);//计算阶乘
		}
		sum = sum + temp;//内部for循环每执行完一次，说明算出了一个数的阶乘，那么进行相加
	}
	printf("%d",sum);//打印输出最终结果
}

对于新手而言，需要提醒的是，无论是累成还是累加，都要预先设置一个变量，累成初始化为1，累加初始化为0，因为我大学刚开始用C写算法的时候，犯过的一个错误，是直接用设置的变量进行累加或累乘，例如这个题不要写成temp=temp*(temp+1)之类的

例题2：求Sn=a+aa+aaa+...+aa..a(n个a)，其中a是一个数字，n表示a的位数，n由键盘输入。

解题思路：本题可分为两部分，一部分是求aa..a，而另一部分是对这些值进行累加，关键在于如何通过键盘输入的a值，求得aa..a。例如从键盘输入a=2，那么22=2*10+2，222=2*10*10+22，那么，我们只需设置int temp=0 ; 之后进行for循环：temp=temp+a ; a=a*10 ;  代码段如下：

void function3() {
	int a = 0;
	printf("请输入1到9的整数：");
	scanf("%d", &a);
	printf("请输入累加次数：");
	int count = 0;
	scanf("%d", &count);
	int sum = 0;
	int temp1 = 0;
	while (count > 0) {
		temp1 = temp1 + a;
		sum = sum + temp1;
		a = a * 10;
		count--;
	}
	printf("最终结果是：%d\n", sum);
}

例题3：求解：

本题仍分两步，较为简单，直接上程序：

void function5() {
	int i, j = 0;
	for (i = 1; i <= 100; i++){
		j = j + i;
	}
	int m, n = 1;
	for (m = 1; m <= 50; m++) {
		n = n + m * m;
	}
	int k, h = 0;
	for (k = 1; k <= 10; k++) {
		h = h + 1 / k;
	}
	int total = 0;
	total = j + n + h;
	printf("最终结果是：%d\n", total);
}

例题4：完数的求解，编程找出1000以内的所有完数，并输出其因子（注：完数，一个数如果恰好等于它的因子之和，那么这个数就称为完数）

思路：本题如果想要一气呵成，有些不着头绪，因此，本题分为两部分：首先我们不妨先判断，对于待求数而言，什么时候，它是一个完数；第二，如果待求数是完数，那么我们如何输出其全部的因子？ 

void function6() {
	int i;
	for (i = 1; i <= 1000; i++) {
		int j;
		int temp = 0;
		for (j = 1; j < i; j++) {//第一部分：什么时候是完数
			if (i % j == 0) {
				temp = temp + j;
			}
		}
		if (temp == i) {//第二部分：是完数时，单独输出其因子
			printf("%d是完数,其组成的因子是：", i);
			for (int j = 1; j < i; j++) {
				if (i % j == 0) {
					printf("%3d", j);
				}
			}
			printf("\n");
		}
	}
}

编程中，有时需要经常将一个数进行暂存，因为这个数在后续运算过程中会改变，例如本题：

计算1+1/3+1/5+...+

void 输出分数累加1() {
	float a = 1;
	int count = 0;
	printf("输入迭代次数：");
	scanf("%d", &count);
	float temp_a = a;//设置暂存变量
	while (count > 0) {
		a = a + 1 / (temp_a + 2);
		temp_a = temp_a + 2;
		count--;
	}
	printf("计算结果是：%f", a);
}