Hadamard积

Hadamard积是指两个矩阵的按元素（element-wise）乘积，也就是两个矩阵对应位置上的元素相乘的结果。如果矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都是 $m\times n$ 的矩阵，那么它们的Hadamard积也是一个 $m\times n$ 的矩阵 $C$，其中 $C$ 的每个元素 $c_{ij}$ 定义为：

$c_{ij}=a_{ij}\cdot b_{ij}$

这里 $a_{ij}$ 和 $b_{ij}$ 分别是矩阵 $A$ 和 $B$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

需要注意的是，为了执行Hadamard积，两个矩阵必须有相同的维度。这种运算在图像处理、信号处理、深度学习等众多领域都有广泛的应用。例如，在神经网络中，激活函数之后的张量与特征图之间的逐元素乘法就是一种常见的Hadamard积应用。

假设我们有两个相同大小的矩阵 $A$ 和 $B$，它们都是 $2\times 2$ 的矩阵：

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$

那么 $A$ 和 $B$ 的 Hadamard 积（按元素乘积）$C$ 就是：

$C=A\odot B=\left(\begin{array}{cc}1\ast 5& 2\ast 6\\ 3\ast 7& 4\ast 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 12\\ 21& 32\end{array}\right)$