【CF431C】k-tree 完全背包浅析

最新推荐文章于 2022-04-07 15:16:04 发布

不可知论大祭司

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分类专栏：动态规划树形结构

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_50070650/article/details/110938731

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本文介绍了一种解决特定路径计数问题的方法，通过将问题转化为完全背包问题，并使用动态规划进行高效求解。适用于无限k-树结构，每条路径上的边权不同且至少包含一条权值大于等于d的边。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目概述

Quite recently a creative student Lesha had a lecture on trees. After the lecture Lesha was inspired and came up with the tree of his own which he called a k-tree.

A k-tree is an infinite rooted tree where:

each vertex has exactly k children;
each edge has some weight;
if we look at the edges that goes from some vertex to its children (exactly k edges), then their weights will equal 1, 2, 3, …, k.
The picture below shows a part of a 3-tree.

一棵不完全的k树

题目链接

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浅析

严格说来这题应该不算是与树有关的问题
对于这样一个求路径数的问题，我们可以把边权当做背包的重量， n当作背包的容量，总方案数当作价值。于是就转化成了一个完全背包问题。因为要求至少有一条边的权值大于等于d，所以我们可以开个二维数组dp[N][2], dp[i][1]表示总权值为i切满足条件的总数, dp[i][0]表示不满足权值大于等于d的总数，即所有的方案都是用权值小于d的背包凑出的，由此我们可以得到一下状态转移方程。

    dp[i][1] = (dp[i][1] + dp[i - j][1]) % mod;
    //根据j的取值去进一步讨论更新
    if (j < d){
        dp[i][0] = (dp[i][0] +  dp[i - j][0]) % mod;
    }else{
        dp[i][1] = (dp[i][1] + dp[i - j][0]) % mod;
    }

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 105;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, k, d;
int dp[N][2];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(), cout.tie();
    cin >> n >> k >> d;

    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= min(i, k); ++j) {

            dp[i][1] = (dp[i][1] + dp[i - j][1]) % mod;

            if (j < d){
                dp[i][0] = (dp[i][0] +  dp[i - j][0]) % mod;
            }else{
                dp[i][1] = (dp[i][1] + dp[i - j][0]) % mod;
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n][1]);
    return 0;
}