【Datawhale组队学习】机器学习数学基础 - 数列极限【Task 02】

数列极限的定义

存在常数a，对任意的$ϵ>0$，

若存在正整数N，使得$n>N$时，$|x_n-a|<ϵ$恒成立，称a是数列 { x n } \{x_n\} {xn​}的极限。记为${\lim }_{x\to \infty }{x}_n=a$。

若寻找存在的正整数N，则需要进行取整操作。N并不唯一，大于N的都行

若不存在，则称数列 { x n } \{x_n\} {xn​}发散。

子数列

若数列 { a n } \{a_n\} {an​}收敛，其任意子列 { a n k } \{a_{n_k}\} {ank​​}收敛，且${\lim }_{k\to \infty }{a}_{n_k}={\lim }_{n\to \infty }{a}_n$。

不仅可以从数列收敛推出其子序列收敛。

而且利用反证法，从其子列发散，证明原数列发散。

但是仅有一个子列收敛，无法推出整个数列收敛。

数列的性质

主要性质：

• 唯一性：给出数列 { x n } \{x_n\} {xn​}，若${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$（存在），则$a$是唯一的。
• 有界性：若数列 { x n } \{x_n\} {xn​}极限存在，则数列 { x n } \{x_n\} {xn​}有界。
• 保号性：设数列 { a n } \{a_n\} {an​}存在极限$a$，且$a>0$（或$a<0$），则存在正整数$N$，当$n>N$时，有$a_n>0$（或$a_n<0$）

此处需要注意的是，这里并非是局部性质，而是整个数列满足该性质。

数列极限的运算

设存在${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$， ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b$。

那么有

1. ${\lim }_{n\to \infty }(x_n\pm y_n)=a\pm b$；
2. ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n{y}_n=ab$；
3. 当$b\ne 0$，$y_n\ne 0$，那么${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}$。

夹逼准则

夹逼准则的方法与极限中夹逼准则的定义类似，不再赘述。

单调有界

判断极限是否存在:

1. 数列单调上升，且有上界，则数列极限存在；
2. 数列单调下降，且有下界，则数列极限存在。’

若数列并不单调，那么分析出其极限值，

常见题型：

1. 给出$a_n$的递推通项：利用单调有界准则。
2. 给出$a_n=f(n)$的公式：化为$y=f(x)$，进行求导计算。

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Task02中所讲的函数连续性部分补充在了上一章Task01中。

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以上内容是DataWhale第28期组队学习，根据b站视频考研数学之高等数学（一二三都适用）学习整理所得，若有不足，望指出。