线性代数（第三章：向量）

Kusunoki_D

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分类专栏：考研数学文章标签：线性代数考研向量

于 2024-11-11 22:14:35 首次发布

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一、向量的基础知识

1. 向量的概念与运算

1）向量的定义

n 个数 a₁ , a₂ , … , a_n 构成的有序数组 (a₁ , a₂ , … , a_n)^T 或 (a₁ , a₂ , … , a_n) 称为 n 维向量。

2）向量的运算

设 α = (a₁ , a₂ , a₃)^T ，β = (b₁ , b₂ , b₃)^T

自己和自己的内积 = 模长的平方：(α , α) = α^Tα = a₁² + a₂² + a₃² ≥ 0
自己和自己的内积为 0 ⇔ 0 向量：(α , α) = α^Tα = 0 ⇔ α = 0
自己和别人的内积为 0：正交向量
(α , α) = (α , β) = α^Tβ = β^Tα（对称性）
(α , k₁β₁+k₂β₂) = k₁(α , β₁) + k₂(α , β₂)

2. 向量的线性相关性

1）线性相关

定义：设若存在不全为零的一组数 k₁ , k₂ ,…, k_s ，使得 k₁α₁ + k₂α₂ + … + k_sα_s = 0 ，则称 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性相关。

几何理解：

两个向量 α₁ , α₂ 线性相关，则 α₁ , α₂ 共线；
三个向量 α₁ , α₂ , α₃ 线性相关，则 α₁ , α₂ , α₃ 共面。

线性相关性判定：

用秩：r(α₁ , α₂ ,…, α_s) < s（向量个数）
用行列式（方阵）

若向量组的秩 = 向量个数，则无关；若向量组的秩 < 向量个数，则相关。

2）线性无关

定义：若 k₁α₁ + k₂α₂ + … + k_sα_s = 0 ，当且仅当 k₁ = k₂ =…= k_s = 0 ，则称 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性无关。

线性无关性判定：

用定义，写出 k₁α₁ + k₂α₂ + … + k_sα_s = 0 ，证出 k₁ = k₂ =…= k_s = 0
用秩：r(α₁ , α₂ ,…, α_s) = s（向量个数）
用行列式（方阵）

3. 线性表示

1）线性表示的定义

若存在一组数 k₁ , k₂ ,…, k_s ，使得 β = k₁α₁ + k₂α₂ + … + k_sα_s ，则称 β 可由 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性表示。

2）线性表示的判定

线性表示与向量组的秩之间的联系：

若 r(α₁ , α₂ ,…, α_n) ≠ r(α₁ , α₂ ,…, α_n , β) ⇔ Ax = β 无解 ⇔ β 不可由向量组 α₁ , α₂ ,…, α_n 表示
若 r(α₁ , α₂ ,…, α_n) = r(α₁ , α₂ ,…, α_n , β) = n ⇔ Ax = β 有唯一解 ⇔ β 可以由向量组 α₁ , α₂ ,…, α_n 表示且唯一表示
若 r(α₁ , α₂ ,…, α_n) = r(α₁ , α₂ ,…, α_n , β) < n ⇔ Ax = β 有无穷多解 ⇔ β 可以由向量组 α₁ , α₂ ,…, α_n 表示且无穷多表示

3）总结

① 方阵向量组的线性相关性（ n 个 n 维向量：方阵）

a）α₁ , α₂ ,…, α_n 线性相关 ⇔ r(α₁ , α₂ ,…, α_n) < n ⇔ |α₁ , α₂ ,…, α_n| = 0
b）α₁ , α₂ ,…, α_n 线性无关 ⇔ r(α₁ , α₂ ,…, α_n) = n ⇔ |α₁ , α₂ ,…, α_n| ≠ 0
c）r(A) = 行数 ⇔ A 的行向量组线性无关；r(A) < 行数 ⇔ A 的行向量组线性相关。
d）r(A) = 列数 ⇔ A 的列向量组线性无关；r(A) < 列数 ⇔ A 的列向量组线性相关。

② 一个向量被一个向量组表出问题（核心：非齐次线性方程组）

向量 β 可由向量组 α₁ , α₂ ,…, α_m 线性表示
⇔ Ax = β 有解，其中 A = (α₁ , α₂ ,…, α_m)
⇔ r(A) = r(A,β)
⇔ r(α₁ , α₂ ,…, α_m) = r(α₁ , α₂ ,…, α_m , β)

③ 一个向量组被一个向量组表出问题（核心：矩阵方程）

向量组 β₁ , β₂ ,…, β_s 可由向量组 α₁ , α₂ ,…, α_m 线性表示
⇔ 矩阵方程 AX = B 有解，其中 A = (α₁ , α₂ ,…, α_m) ，B = (β₁ , β₂ ,…, β_s)
⇔ r(A) = r(A,B)
⇔ r(A) ≥ r(B)

④ 线性相关性与秩、方程组的解、行列式之间的关系

给定 n 维列向量 α₁ , α₂ ,…, α_m ，记 A = (α₁ , α₂ ,…, α_m)

a）α₁ , α₂ ,…, α_m 线性相关 ⇔ Ax = 0 有非零解 ⇔ r(A) < m ⇔ r(α₁ , α₂ ,…, α_m) < m
b）α₁ , α₂ ,…, α_m 线性无关 ⇔ Ax = 0 无非零解 ⇔ r(A) = m ⇔ r(α₁ , α₂ ,…, α_m) = m

特别地，当 m = n 时，有克拉默法则有

Ax = 0 有非零解 ⇔ |A| = 0
Ax = 0 无非零解 ⇔ |A| ≠ 0

由此可以得到：

a′）α₁ , α₂ ,…, α_m 线性相关 ⇔ Ax = 0 有非零解 ⇔ r(A) < m ⇔ r(α₁ , α₂ ,…, α_m) < m ⇔ |A| = 0
b′）α₁ , α₂ ,…, α_m 线性无关 ⇔ Ax = 0 无非零解 ⇔ r(A) = m ⇔ r(α₁ , α₂ ,…, α_m) = m ⇔ |A| ≠ 0

推论：给定 n 维列向量 α₁ , α₂ ,…, α_m ，若 m > n ，则 α₁ , α₂ ,…, α_m 线性相关（即个数大于维数必相关，n + 1 个 n 维向量一定线性相关）

【拓展】：

n 个 n 维向量 α₁ , α₂ ,…, α_n 线性相关的充分必要条件是行列式 |α₁ , α₂ ,…, α_n| = 0
任何部分组 α₁ , α₂ ,…, α_r 相关 ⇒ 整体组 α₁ , α₂ ,…, α_s 相关；
整体组 α₁ , α₂ ,…, α_s 无关 ⇒ 任何部分组 α₁ , α₂ ,…, α_r 无关。反之均不成立。

整体无关，部分也无关；部分相关，整体也相关。

α₁ , α₂ ,…, α_m 线性无关 ⇒ 延申组 α₁′ , α₂′ ,…, α_m′ 线性无关；
α₁′ , α₂′ ,…, α_m′ 线性相关 ⇒ 缩短组 α₁ , α₂ ,…, α_m 线性相关。反之均不成立。

原来无关，延长也无关；原来相关，缩短也相关。
注：但是原来相关，延长不一定相关；原来无关，缩短不一定无关

α₁ , α₂ ,…, α_s（s ≥ 2）线性相关 ⇔ α₁ , α₂ ,…, α_s 中存在一个向量可用其余的 s-1 个向量线性表出。
α₁ , α₂ ,…, α_s（s ≥ 2）线性无关 ⇔ α₁ , α₂ ,…, α_s 中任意一个向量都不可用其余的 s-1 个向量线性表出。
如果 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性无关，α₁ , α₂ ,…, α_s , β 线性相关，则 β 可由 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性表出，且表示法唯一。
若 β 不能由向量组 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性表示，则 α₁ , α₂ ,…, α_s 与 α₁ , α₂ ,…, α_s , β 线性相关性一致。
如果向量组 α₁ , α₂ ,…, α_s 可由向量组 β₁ , β₂ ,…, β_t 线性表出，而且 s > t ，那么 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性相关。（即如果多数向量能用少数向量线性表出，那么多数向量一定线性相关）
设 α₁ , α₂ ,…, α_s 可由 β₁ , β₂ ,…, β_t 线性表出，则 r(α₁ , α₂ ,…, α_s) ≤ r(β₁ , β₂ ,…, β_t)
设 α₁ , α₂ ,…, α_s 为 n 维列向量，A 是 m × n 的矩阵
α₁ , α₂ ,…, α_s 线性相关 ⇒ Aα₁ , Aα₂ ,…, Aα_s 线性相关（反推不成立，如 A = O）
Aα₁ , Aα₂ ,…, Aα_s 线性无关 ⇒ α₁ , α₂ ,…, α_s 线性无关（反推不成立，如 A = O）
设 α₁ , α₂ ,…, α_s 为 n 维列向量，A 是 m × n 的列满秩矩阵
α₁ , α₂ ,…, α_s 线性相关 ⇔ Aα₁ , Aα₂ ,…, Aα_s 线性相关
α₁ , α₂ ,…, α_s 线性无关 ⇔ Aα₁ , Aα₂ ,…, Aα_s 线性无关
即 α₁ , α₂ ,…, α_s 与 Aα₁ , Aα₂ ,…, Aα_s 的线性相关性一致

4. 极大线性无关组

1）极大线性无关组的定义

设向量组 α₁ , α₂ ,…, α_n 满足：

① 向量组 α₁ , α₂ ,…, α_n 中有 r 个向量线性无关；
② 向量组 α₁ , α₂ ,…, α_n 中任意 r+1 个向量线性相关，

则称这 r 个线性无关的向量为该向量组的一个极大线性无关组。

〘简记〙：本身无关，加一有关，就是极大无关组。

【注意】：

向量组中的任意一个向量，都可以被极大无关组表示。
向量组的极大线性无关组一般不唯一。
只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组。
一个线性无关的向量组的极大线性无关组就是该向量组本身。

2）向量组的秩的定义

向量组 α₁ , α₂ ,…, α_n 中极大无关组中所含向量的个数 r 就是向量组的秩。

3）求解极大无关组步骤

第一步：按列摆，行变换，到最简。
第二步：一般取台脚（取法不唯一）。

5. 向量组等价

1）定义

设向量组 (I)：α₁ , α₂ ,…, α_s ；(II)：β₁ , β₂ ,…, β_s ，如果 (I) 可由 (II) 线性表示，(II) 也可由 (I) 线性表示，则称 (I) 与 (II) 等价。

【总结】：

向量组 α₁ , α₂ ,…, α_s 与向量组 β₁ , β₂ ,…, β_s 等价
⇔ 向量组 α₁ , α₂ ,…, α_s 与向量组 β₁ , β₂ ,…, β_s 能相互线性表示
⇔ AX = B 与 BX = A 均有解，其中 A = (α₁ , α₂ ,…, α_s) ，B = (β₁ , β₂ ,…, β_s)
⇔ r(A) = r(B) = r(A,B)
⇔ α₁ , α₂ ,…, α_s 与 β₁ , β₂ ,…, β_s 的线性相关性一致（相同个数的等价向量组线性相关性一致，如果两个向量组的向量个数不一样，结论就不成立）

2）判定

r(I) = r(II) = r(I,II)

二、向量线性相关性

1. 相关性定义总结

【线性相关与线性无关】：

【线性表示与方程组的解之间的联系】：

【推论】：向量组 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性无关等价于

当且仅当 k 全为 0 时，使得 k₁α₁ + k₂α₂ + … + k_sα_s = 0 成立
任意一组不全为 0 的数 k ，使得 k₁α₁ + k₂α₂ + … + k_sα_s ≠ 0 成立
任意一个向量均不能由其他向量线性表示

注意：α₁ , α₂ ,…, α_s 中任意两个向量线性无关 ⇏ α₁ , α₂ ,…, α_s 线性无关；但 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性无关 ⇒ α₁ , α₂ ,…, α_s 中任意两个向量线性无关。
即：α₁ , α₂ ,…, α_s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。

2. 相关性判定（具体型）

	线性相关	线性无关
用秩判定	r(A) < n	r(A) = n
用行列式判定	\|A\| = 0	\|A\| ≠ 0

例题：下列向量组中，线性无关的是？D

A. [1, 2, 3, 4]^T , [2, 3, 4, 5]^T , [0, 0, 0, 0]^T（零向量与任何向量线性相关）

B. [1, 2, -1]^T , [3, 5, 6]^T , [0, 7, 9]^T , [1, 0, 2]^T（4 个 3 维向量一定线性相关）

C. [a, 1, 2, 3]^T , [b, 1, 2, 3]^T , [c, 3, 4, 5]^T , [d, 0, 0, 0]^T（行列式值为 0 ，线性相关）

D. [a, 1, b, 0, 0]^T , [c, 0, d, 6, 0]^T , [a, 0, c, 5, 6]^T

3. 相关性判定（抽象型）

1）线性相关性的证明或判断

2）线性表示的性质

已知 β₁ , β₂ ,…, β_n 可由 α₁ , α₂ ,…, α_m 线性表示，若 n > m ，则 β₁ , β₂ ,…, β_n 必定线性相关（多由少表，多的相关）
已知 β₁ , β₂ ,…, β_n 可由 α₁ , α₂ ,…, α_m 线性表示，若 β₁ , β₂ ,…, β_n 线性无关，则 n ≤ m（无关由谁表，无关比谁少，带等号）

『翻译』：
① 若 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性相关 ⇔ r(α₁ , α₂ ,…, α_s) < s
② 若 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性无关 ⇔ r(α₁ , α₂ ,…, α_s) = s
③ 若 (I) 可由 (II) 表示 ⇔ r(I) ≤ r(II) 且 r(II) = r(II,I)
④ 若 β 可以被 α₁ , α₂ , α₃ 表示 ⇔ r(α₁ , α₂ , α₃) = r(α₁ , α₂ , α₃ , β)

4. 有关 k 的总结

设向量 α₁ , α₂ , α₃ 满足 k₁α₁ + k₂α₂ + k₃α₃ = 0 ，k 为常数，有以下结论：

① 若 α₁ , α₂ , α₃ 线性相关，则必存在一个向量，可以由其他向量线性表示。

〘证明〙：若 α₁ , α₂ , α₃ 线性相关，则 k₁ , k₂ , k₃ 必不全为 0 ，不妨设 k₁ ≠ 0 ，有 k₁α₁ = -k₂α₂ - k₃α₃ ，则 α₁ = -(k₂/k₁)·α₂ - (k₃/k₁)·α₃ ，即 α₁ 可由 α₂ , α₃ 线性表示。

② 若 α₁ , α₂ , α₃ 线性相关，但 α₃ 不能由 α₁ , α₂ 线性表示，则 k₃ = 0 。

〘证明〙：（反证法）假设 k₃ ≠ 0 ，则 α₃ = -(k₁/k₃)·α₁ - (k₂/k₃)·α₂ ，即 α₃ 可由 α₁ , α₂ 线性表示，与题意 α₃ 不能由 α₁ , α₂ 线性表示矛盾，即 k₃ = 0 。

③ 若 β 可由 α₁ , α₂ , α₃ 线性表示，但不可由 α₁ , α₂ 线性表示，则 k₃ ≠ 0 且 α₃ 可由 α₁ , α₂ , β 线性表示。

〘证明〙：（反证法）假设 k₃ = 0 ，则 β = k₁α₁ + k₂α₂ + k₃α₃ = k₁α₁ + k₂α₂ ，即 β 可由 α₁ , α₂ 线性表示，与题意 β 不可由 α₁ , α₂ 线性表示矛盾，即 k₃ ≠ 0 ，有 α₃ = (β - k₁α₁ - k₂α₂) / k₃ ，即 α₃ 可由 α₁ , α₂ , β 线性表示。

【总结】：
I、k ≠ 0 ⇒ 可以做分母 ⇒ 可以被其余向量线性表示；
II、谁不能被其余向量表示，谁的 k = 0 。

5. 例题

三、结论

1. AB = O

r(A) + r(B) ≤ n（其中 n 是 A 的列数、B 的行数）
B 的列向量均是 AX = 0 的解
拓展：若 |A| = 0 ，则 AA* = |A|E = 0 ，即 A* 的列向量均是 AX = 0 的解
A 有特征值：0 ，有特征向量：B 的非零列向量
若 A ≠ O ，则 B 行相关；若 B ≠ O ，则 A 列相关
证明：A ≠ O 则 r(A) ≥ 1 ，由 r(A) + r(B) ≤ n ⇒ r(B) ≤ n-1 ⇒ B 行相关，同理可证 A 列相关。

例题：设 A ，B 为满足 AB = O 的任意两个非零矩阵，则：A 的列向量线性相关，B 的行向量线性相关。

2. AB = C

C 的列向量可由 A 的列向量线性表示，即 AB 的列向量可由 A 的列向量线性表示
C 的行向量可由 B 的行向量线性表示，即 AB 的行向量可由 B 的行向量线性表示
若 A 可逆，则 B 的行向量组与 C 的行向量组等价
【证明】：AB = C ⇒ C 的行可由 B 的行线性表示；已知 A 可逆，则 B = A^-1C ⇒ B 的行可由 C 的行线性表示，即 B 的行与 C 的行可以相互线性表示。
若 B 可逆，则 A 的列向量组与 C 的列向量组等价
【证明】：AB = C ⇒ C 的列可由 A 的列线性表示；已知 B 可逆，则 A = CB^-1 ⇒ A 的列可由 C 的列线性表示，即 A 的列与 C 的列可以相互线性表示。
r(A) = r(A,AB) 或 r(B) = r(B,BA)
r(B) = r(^B_AB) 或 r(A) = r(^A_BA)
若 A 列满秩，则 ABx = 0 与 Bx = 0 同解
若 B 行满秩，则 B^TA^Tx = 0 与 A^Tx = 0 同解

例题：

3. AB = E

A_m×n·B_n×m = E_m×m ，其中 A 行满秩，B 列满秩。

【证明】：

r(AB) ≤ r(A) ≤ m 且 r(AB) = r(E) = m ⇒ r(A) = m ，即 A 行满秩；
r(AB) ≤ r(B) ≤ m 且 r(AB) = r(E) = m ⇒ r(B) = m ，即 B 列满秩。

例题：设矩阵满足 AB = E ，则有：A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关。

4. 列满秩结论

5. 行满秩结论

若 A 是 m × n 矩阵，B 是 n × s 矩阵，若 r(B) = n（行满秩），则：

右乘行满秩，不变秩，即 r(AB) = r(A) ，r(B^TA^T) = r(A^T)
行满秩矩阵有右消去律
B^TA^Tx = 0 与 A^Tx = 0 同解

例题：设 B 是 n 阶矩阵，C 是 n×m 矩阵，且 r(C) = n ，则下列结论正确的是（①②④）
① 若 BC = O ，则 B = O
② 若 BC = C ，则 B = E
③ 若 BC = O ，则 1 ≤ r(B) < n
④ 若 BC = C ，则 r(B) = n
解析：由题意可知，矩阵 C 行满秩，有右消去律。

四、大题

1. 线性表示

线性表示与向量组的秩之间的联系：

若 r(α₁ , α₂ ,…, α_n) ≠ r(α₁ , α₂ ,…, α_n , β) ⇔ Ax = β 无解 ⇔ β 不可由向量组 α₁ , α₂ ,…, α_n 表示
若 r(α₁ , α₂ ,…, α_n) = r(α₁ , α₂ ,…, α_n , β) = n ⇔ Ax = β 有唯一解 ⇔ β 可以由向量组 α₁ , α₂ ,…, α_n 表示且唯一表示
若 r(α₁ , α₂ ,…, α_n) = r(α₁ , α₂ ,…, α_n , β) < n ⇔ Ax = β 有无穷多解 ⇔ β 可以由向量组 α₁ , α₂ ,…, α_n 表示且无穷多表示

2. 向量组等价

3. 极大无关组

利用初等变换求向量组的秩，线性关系，极大无关组

初等行变换不改变列向量组的秩，线性关系，极大无关组
列向量组作行变换不改变线性关系
初等列变换不改变行向量组的秩，线性关系，极大无关组
行向量组作列变换不改变线性关系

五、证明题

证明线性无关时，通常小题使用秩，大题使用定义。

1. 重新组合（利用无关条件）

例 1：已知 n 维向量 α₁ , α₂ , α₃ 线性无关，证明：3α₁ + 2α₂ , α₂ - α₃ , 4α₃ - 5α₁ 线性无关。

写定义（证谁设谁）：设 k₁·(3α₁ + 2α₂) + k₂·(α₂ - α₃) + k₃·(4α₃ - 5α₁) = 0 ；
重新组合：(3k₁-5k₃)·α₁ + (2k₁+k₂)·α₂ + (4k₃-k₂)·α₃ = 0 ；
已知向量 α₁ , α₂ , α₃ 线性无关，得出 3k₁-5k₃ = 0 、2k₁+k₂ = 0 、4k₃-k₂ = 0 ⇒ k₁ = k₂ = k₃ = 0 ，即证。

例 2：设向量组 (I)：α₁ , α₂ , α₃ ；(II)：α₁ , α₂ , α₃ , α₄ ；(III)：α₁ , α₂ , α₃ , α₅ ，又知 r(I) = r(II) = 3 ，r(III) = 4 ，证明：α₁ , α₂ , α₃ , α₅-α₄ 线性无关。

与题意可知向量组 (I) (III) 线性无关，向量组 (II) 线性相关，且 α₄ 可被 α₁ , α₂ , α₃ 唯一线性表示，设 α₄ = l₁α₁ + l₂α₂ + l₃α₃ ;
写定义（证谁设谁）：设 k₁·α₁ + k₂·α₂ + k₃·α₃ + k₄·(α₅-α₄) = 0 ，将 α₄ = l₁α₁ + l₂α₂ + l₃α₃ 代入式子中得到 k₁·α₁ + k₂·α₂ + k₃·α₃ + k₄·(α₅-l₁α₁-l₂α₂-l₃α₃) = 0 ；
重新组合：(k₁-k₄·l₁)·α₁ + (k₂-k₄·l₂)·α₂ + (k₃-k₄·l₃)·α₃ + k₄·α₅ = 0 ；
已知向量 α₁ , α₂ , α₃ , α₅ 线性无关，得出 k₁-k₄·l₁ = 0 、k₂-k₄·l₂ = 0 、k₃-k₄·l₃ = 0 、k₄ = 0 ⇒ k₁ = k₂ = k₃ = k₄ = 0 ，即证。

2. 同乘缩短（找乘零项）

例 1：设 A 是 n 阶矩阵，α 是 n 维列向量，若 A^m-1α ≠ 0 ，A^mα = 0 ，证明：向量组 α , Aα , A²α ,…, A^m-1α 线性无关。

写定义（证谁设谁）：设 k₁·α + k₂·Aα + k₃·A²α +…+ k_m·A^m-1α = 0 ；
两边同乘 A^m-1 ，得到 k₁·A^m-1α + k₂·A^mα + k₃·A^m+1α +… = 0 ，可以推出 k₁ = 0 ，代入定义得到 k₂·Aα + k₃·A²α +…+ k_m·A^m-1α = 0 ；
两边同乘 A^m-2 ，得到 k₂·A^m-1α + k₃·A^mα +… = 0 ，可以推出 k₂ = 0 ，代入定义得到 k₃·A²α +…+ k_m·A^m-1α = 0 ；……，同理可得 k₁ = k₂ = … = k_m = 0，即证。

例 2：设 A 是 n 阶矩阵，α₁ , α₂ , α₃ 是 n 维列向量，若 Aα₁ = α₁ ≠ 0 ，Aα₂ = α₁ + α₂ ，Aα₃ = α₂ + α₃ ，证明：向量组 α₁ , α₂ , α₃ 线性无关。

由题意可知，(A-E)·α₁ = 0 ，(A-E)·α₂ = α₁ ，(A-E)·α₃ = α₂ ；
写定义（证谁设谁）：设 k₁·α₁ + k₂·α₂ + k₃·α₃ = 0 ；
两边同乘 (A-E) ，得到 k₂·α₁ + k₃·α₂ = 0 ，再次两边同乘 (A-E) ，得到 k₃·α₁ = 0 ，因为 α₁ ≠ 0 ，因此推出 k₃ = 0 ，即 k₂·α₁ = 0 ，推出 k₂ = 0 ，即 k₁·α₁ = 0 ，推出 k₁ = 0 ，即证。

例 3：设 λ₁ , λ₂ 是 A 的不同特征值，a₁ , a₂ 是属于 λ₁ 的特征向量，a₃ 是属于 λ₂ 的特征向量，且 a₁ , a₂ 无关，证明：a₁ , a₂ , a₃ 线性无关。

已知 Aa₁ = λ₁a₁ ，Aa₂ = λ₁a₂ ，Aa₃ = λ₂a₃ ，得到 (A-λ₁E)·a₁ = 0 ，(A-λ₁E)·a₂ = 0 ；
写定义（证谁设谁）：设 k₁·a₁ + k₂·a₂ + k₃·a₃ = 0 ；
两边同乘 (A-λ₁E) ，得到 k₁·(A-λ₁E)·a₁ + k₂·(A-λ₁E)·a₂ + k₃·(A-λ₁E)·a₃ = 0 ，即 k₃·(A-λ₁E)·a₃ = 0 ，化简得到 (λ₂-λ₁)·k₃·a₃ = 0 ，推出 k₃ = 0 ，代入定义中得到 k₁·a₁ + k₂·a₂ = 0 ，又因为 a₁ , a₂ 无关，得到 k₁ = k₂ = 0 ，即证。