高等数学（第一章：函数与极限）

---

一、函数极限计算

1. 必背知识点

1）等价无穷小公式（x→0时）

$$x\sim \sin (x)\sim \tan (x)\sim \arcsin (x)\sim \arctan (x)\sim e^x-1\sim \ln (1+x)\sim \ln (x+\sqrt{1+x^2})$$

$$1-\cos (x)\sim \frac{1}{2}{x}^{2}1-{\cos }^k(x)\sim \frac{k}{2}{x}^2$$

$$(1+x{)}^a-1\sim ax(a\ne 0)$$

$$[1+\alpha (x){]}^{\beta (x)}-1\sim \alpha (x)\cdot \beta (x)(当\alpha (x)\to 0且\alpha (x)\cdot \beta (x)\to 0时)$$

$$a^x-1\sim x\cdot \ln (a)$$

【拓展】：

$$x-\sin (x)\sim \frac{1}{6}{x}^{3}x-\arcsin (x)\sim -\frac{1}{6}{x}^3$$

$$x-\tan (x)\sim -\frac{1}{3}{x}^{3}x-\arctan (x)\sim \frac{1}{3}{x}^3$$

$$x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$$

2）泰勒展开公式（x→0时）

$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots +(-1{)}^n\cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$$

$$\arcsin (x)=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$

$$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots +(-1{)}^n\cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$$

$$\tan (x)=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

$$\arctan (x)=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots +(-1{)}^n\cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})$$

$$(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\cdots$$

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+o(x^n)$$

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1{)}^n{x}^n+o(x^n)$$

2. 0/0 型未定式

1）常规方法

在求极限时，对于 0 因子，首先考虑 “等价无穷小替换”（广义化思想）或 “泰勒展开” ，再考虑 “洛必达法则” 。

2）技巧

• 看见 √a - √b ，想到有理化。

• 当 a → b 时，看见 e^a - e^b ，提取 e^b 变成 e^b·(e^a-b-1) 。

• 当 a → 1 时，ln(a) ~ a-1 。

• 当 x → 0⁺ 时 lim (x^α·ln^βx) = 0 ，其中 α, β > 0 。

3. ∞/∞ 型未定式

1）常规方法

“提取无穷大” 或 “同除无穷大” 或 “转换为 0/0 型” 。

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}=\{\begin{array}{l}\frac{a_n}{b_m},n=m\\ 0,n<m\\ \infty ,n>m\end{array}$$

其中 a_n 与 b_m 均不为零。

2）“抓大头” 的思想

常见无穷大比较：

（1）当 x → +∞ 时，ln^αx ≪ x^β ≪ a^x （其中 a, α, β > 0）；

（2）当 n → ∞ 时，ln^αn ≪ n^β ≪ aⁿ ≪ n! ≪nⁿ （其中 a, α, β > 0）。

【注】：ln() 式中也可以抓大头，例如：当 x → ∞ 时，ln(x + e^x) ~ ln(e^x) 。

记忆方法：对幂指阶，依次变大。

3）针对 √￣ 和 ln 的 “破壳而出”

（1）√￣ 破壳而出（根式爆破法）的要点是：“次数一致、系数比一致、再乘根号数” 。

例如：x → 0 时

$$\sqrt[4]{x^4+x^3}\sim x+\frac{1}{4}\sqrt[4]{x^4-x^3}\sim x-\frac{1}{4}\text{\hspace{1em}(例1)}$$

$$\sqrt[6]{x^6+x^5}\sim x+\frac{1}{6}\sqrt[6]{x^6-x^5}\sim x-\frac{1}{6}\text{\hspace{1em}(例2)}$$

$$\sqrt[2]{9x^2+x}\sim 3x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=3x+\frac{1}{6}\text{\hspace{1em}(例3)}$$

$$\sqrt[2]{4x^2-x}\sim 2x-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=2x-\frac{1}{4}\text{\hspace{1em}(例4)}$$

（2）ln 破壳而出的要点是：提出 e^x 。

例如：x → 0 时

$$\ln (e^x+e^{-x})\sim x+e^{-2x}\text{\hspace{1em}(例1)}$$

$$\ln (e^x-e^{-x})\sim x-e^{-2x}\text{\hspace{1em}(例2)}$$

【证明】：

$$\ln (e^x+e^{-x})=\ln [e^x\cdot (1+e^{-2x})]=\ln (e^x)+\ln (1+e^{-2x})\sim x+e^{-2x}$$

4. ∞ - ∞ 型未定式

1）常规方法

若 lim (f - g) 为 ∞-∞ 型极限，且这个极限存在，则必有 f/g → 1 。则有：

$$\lim (f-g)=\lim [g\cdot (\frac{f}{g}-1\left)\right]=\lim [g\cdot \ln (\frac{f}{g}\left)\right]=\lim [g\cdot \ln (f)-\ln (g)]$$

2）倒代换

除了利用上述公式，我们还可以作 “倒代换” ：

若 x → ∞ ，令 t = 1/x ，则 t → 0 。这样方便利用 “等价无穷小” 及 “泰勒展开” 。

5. 1^∞ 型未定式

1）使用 “重要极限” 公式

$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=1$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e\underset{x\to +\infty }{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=1$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$$

2）取指对数

若不能用重要极限公式，则 “取指对数” 。

6. 幂指函数取指对数

公式：

$$a^b=e^{b\cdot \ln (a)}$$

从而有：

$$\lim a^b=\lim e^{b\cdot \ln (a)}=e^{\lim b\cdot \ln (a)}$$

可以达到去指数的效果。注：特别地，如果 a → 1 ，有：

$$\lim a^b=e^{\lim b\cdot \ln (a)}=e^{\lim b\cdot (a-1)}$$

7. 无穷小比阶

1）无穷小的性质

• O(x^m) + O(xⁿ) = O(x^低次) 、O(x^m) × O(xⁿ) = O(x^mn) 、k × O(x^m) = O(k × x^m) 。

• 有限个无穷小的和仍是无穷小。

• 有限个无穷小的积仍是无穷小。

• 无穷小乘以有界函数等于无穷小。

2）高阶、低阶、同阶、等价

• β(x) 是 α(x) 的高阶：lim [β(x) / α(x)] = 0 。

• β(x) 是 α(x) 的低阶：lim [β(x) / α(x)] = ∞ 。

• β(x) 与 α(x) 同阶：lim [β(x) / α(x)] = c ≠ 0（ c 为除 0 外的任意常数）。

• β(x) 与 α(x) 等价：lim [β(x) / α(x)] = 1 。

解题手段：利用 “等价无穷小替换” 、“泰勒展开” 或者 “直接比一比” 。

8. 已知某一极限，求参数/另一极限

• lim f(x) 存在，lim g(x) 存在 ⇒ lim [f(x) ± g(x)] 存在。

• lim f(x) 存在，lim g(x) 不存在 ⇒ lim [f(x) ± g(x)] 不存在。

• lim f(x) 不存在，lim g(x) 不存在 ⇒ lim [f(x) ± g(x)] 未知。

• lim f(x) 存在，lim g(x) 存在 ⇒ lim [f(x) · g(x)] 存在。

• lim f(x) 存在，lim g(x) 不存在 ⇒ lim [f(x) · g(x)] 未知。

• lim f(x) 不存在，lim g(x) 不存在 ⇒ lim [f(x) · g(x)] 未知。

【注】：常用的求极限技巧

• （1）加减法中见到存在项就可拆出计算（补项法的真谛）
• （2）非零因子可以先算

9. 其他技巧

1. f → a（a > 0）：

$$\ln (f)=\ln (a\cdot \frac{f}{a})=\ln (a)+\ln \left(\frac{f}{a}\right)=\ln (a)+\ln (1+\frac{f-a}{a})=\ln (a)+\frac{f-a}{a}$$

$$f=e^{\ln (f)}=e^{\ln (a)+\ln (f)-\ln (a)}=a\cdot e^{(\ln (f)-\ln (a))}$$

2. 等价无穷小的应用：

$$若f\to 1，则f-1\sim \ln (f)\text{\hspace{1em}(式1)}$$

$$若\frac{f}{g}\to 1，则f-g=g\cdot (\frac{f}{g}-1)\sim g\cdot \ln \left(\frac{f}{g}\right)\text{\hspace{1em}(式2)}$$

$$若f\to 1，则f^k-1\sim k\cdot (f-1)\text{\hspace{1em}(式3)}$$

【推导】：在式（3）中，

$$f^k-1\sim \ln (f^k)\sim k\cdot \ln (f)\sim k\cdot (f-1)$$

3. 若 a ~ b（无穷大或无穷小），则 lna ~ lnb 。

【推导】：

$$\ln (a)=\ln \left[\right(\frac{a}{b})\cdot b]=\ln \left(\frac{a}{b}\right)+\ln (b)\sim \ln (b)$$

4. 等价无穷小的充分必要条件：

$$f(x)\sim g(x)\iff f(x)=g(x)+o(g(x))$$

6. 极限与无穷小的联系：

$$\lim f(x)=A\iff f(x)=A+\alpha (x)，其中\lim \alpha (x)=0$$

8. 处理 √￣ - √￣ 时，可以用 “有理化” 进行处理，也可以用 “拉格朗日” 进行处理。

$$有理化处理：\sqrt{\alpha }-\sqrt{\beta }=\frac{\alpha -\beta }{\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }}（适用于任何情形）\text{\hspace{1em}(式1)}$$

$$拉格朗日处理：\sqrt{\alpha }-\sqrt{\beta }=\frac{\alpha -\beta }{2\sqrt{\xi }}（适用于\frac{\alpha }{\beta }\to 1的情形）\text{\hspace{1em}(式2)}$$

7. 左右开弓法：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=a\leftrightarrow \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=a\text{\hspace{1em}(式1)}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=a\leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=a\text{\hspace{1em}(式2)}$$

【注】：常见的需要分左右极限的情况有

• e^∞ 型

• arctan(∞) 型

• |f(x)| 型且 f(x) → 0

• [x] 且 x → Z（整数）

• 分段函数在分段点处求极限，且分段点的两侧函数不一样

8. 若 lim f(x) = A ，则 lim |f(x)| = |A| ，但反之不成立。
   特殊地，lim f(x) = 0 ⇔ lim |f(x)| = 0 。

9. 当 x → ∞ 时，lim x_n = a ⇒ lim |x_n| = |a| ，但反之不成立。
   当 x → ∞ 时，lim x_n = 0 ⇔ lim |x_n| = 0 。
   当 x → ∞ 时，lim x_n = a ⇔ lim x_2n = lim x_2n+1 = a 。

10. stolz 定理：
    - 设数列 a_n 、b_n 满足：① b_n 严格单调递增；② 当 n → ∞ 时 lim b_n = +∞ ，那么：
    $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=L\left(\frac{\ast }{\infty }型\right)$$
    其中 L 可以为有限数、正无穷或负无穷，但不可以为无穷。
    - 设数列 a_n 、b_n 满足：① b_n 严格单调递减且趋于零；② 当 n → ∞ 时 lim a_n = 0 ，那么：
    $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=L\left(\frac{0}{0}型\right)$$
    其中 L 可以为有限数、正无穷或负无穷。

二、数列极限概念

数列极限定义：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a\iff \forall \epsilon >0,\exists 正整数N，当n>N时，有|x_n-a|<\epsilon$$

1. 唯一性

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A\iff \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n+1}=A$$

2. 局部保号性

1）脱帽法（已知极限保本身）

当 x → x₀ 时：

• 若 lim f(x) > 0，则在 x₀ 的去心领域内 f(x) > 0 。

• 若 lim f(x) < 0，则在 x₀ 的去心领域内 f(x) < 0 。（保正保负不保零）

• 若 lim f(x) > A，则在 x₀ 的去心领域内 f(x) > A 。

• 若 lim f(x) < A，则在 x₀ 的去心领域内 f(x) < A 。

• 若 lim f(x) > lim g(x)，则在 x₀ 的去心领域内 f(x) > g(x) 。

• 若 lim f(x) < lim g(x)，则在 x₀ 的去心领域内 f(x) < g(x) 。

2）戴帽法（已知本身保极限）

• 若在 x₀ 的去心领域内 f(x) > 0 ，且当 x → x₀ 时 lim f(x) = A 存在，则 A ≥ 0 。

• 若在 x₀ 的去心领域内 f(x) ≥ 0 ，且当 x → x₀ 时 lim f(x) = A 存在，则 A ≥ 0 。

• 若在 x₀ 的去心领域内 f(x) < 0 ，且当 x → x₀ 时 lim f(x) = A 存在，则 A ≤ 0 。

• 若在 x₀ 的去心领域内 f(x) ≤ 0 ，且当 x → x₀ 时 lim f(x) = A 存在，则 A ≤ 0 。

3. 有界性

1）函数局部有界性

• 当 x → x₀ 时，若 lim f(x) 存在，则在 x₀ 的去心领域内 f(x) 有界。

• 当 x → x₀ 时，若 lim f(x) = ∞ ，则在 x₀ 的去心领域内 f(x) 无界。

【注】：上述两条结论反推均不成立。

2）扯面定理

若 f(x) 在 (a , b) 内连续，且当 x → a⁺ 与 x → b^- 时 lim f(x) 均存在，则 f(x) 在 (a , b) 内有界。

3）结论

• 若 f’(x) 在 (a , b) 有界，则 f(x) 在 (a , b) 有界。

若 f(x) 在 (a, b) 内可导，且 f’(x) 有界，证明：f(x) 在 (a, b) 内有界。（拉格朗日中值定理证明不等式）

【证明】：

• f’(x) 有界 ⇔ ∃ M > 0 ，|f’(x)| ≤ M；

• f(x) 有界 ⇔ ∃ K > 0 ，|f(x)| ≤ K；

• 取一点 c ，使得 c ∈ (a, b) ，有：f(x) - f(c) = f’(ξ)·(x-c) ，即 f(x) = f’(ξ)·(x-c) + f(c) ；

• 已知 |f’(x)| ≤ M ，推出：

$$|f(x)|=|f^{\prime }(\xi )(x-c)+f(c)|\le |f^{\prime }(\xi )|\cdot |x-c|+|f(c)|\le M(b-c)+|f(c)|=K$$

• 若 f(x) 在 (a , b) 无界，则 f’(x) 在 (a , b) 无界。【上条结论的逆否命题】

4. 夹逼准则

1）定义

当 n > N 时，有 x_n ≤ y_n ≤ z_n ，且当 n → ∞ 时，lim x_n = lim z_n = a ，可以推出 lim y_n = a 。

2）总结

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n-b_n)=0$$

• lim (a_n - b_n) = lim a_n - lim b_n 的前提是： lim a_n 与 lim b_n 均存在。

• 存在 + 存在 = 存在；不存在 + 存在 = 不存在。

• {a_n} 与 {b_n} 同敛散。

5. 单调有界准则

单调有界数列必有极限。其中单增必有上界，单减必有下界。

6. 无界与无穷大

• 无穷大量：∀ M > 0 ，∃ N > 0 ，当 n > N 时，恒有 |x_n| > M 。

• 无界变量：∀ M > 0 ，∃ n > 0 ，使得 |x_n| > M 。

• {x_n} 收敛 ⇔ 当 n → ∞ 时，lim x_n = c ；
  {x_n} 发散 ⇔ 当 n → ∞ 时，lim x_n = ∞ 。

【注】：无穷大量一定是无界变量；无界变量不一定是无穷大量。注意区分 {x_n} 无界和 {x_n} 发散的区别！
例如：{x_n} = {0, 1, 0, 2, 0, 3……} 、{y_n} = {1, 0, 2, 0, 3, 0……} 、{z_n} = {1, 2, 3, 4, 5, 6……} 中，{x_n} 与 {y_n} 是无界变量但不是无穷大量，因为当 n → ∞ 时，lim x_n 与 lim y_n 均不存在；而 {z_n} 既是无穷大量也是无界变量。

【总结】：在做无界与无穷大这类型的概念题时，需要擅于找出反例。好的例子包括上述的数列 {x_n} 与 {y_n} ，属于 “错位为 0 ，奇偶分项” 的例子。还可以使用一些常见的函数，例如：arctanx 、x 、1/x 等。同时，逆推的思想也很重要。

1）无界 × 无界 ≠ 无界

举例：若 {x_n} 与 {y_n} 无界，则 {x_n·y_n} 无界。
反例：上述错位为 0 ，奇偶分项的数列例子。

2）有界 × 有界 = 有界（反推不成立）

举例：若 {x_n·y_n} 有界，则必有 {x_n} 与 {y_n} 都有界。
反例：{x_n} = n ，{y_n} = 1/n 。

3）无穷大 × 无穷大 = 无穷大

4）乘积为 0 ，未必有 0

举例：当 n → ∞ 时，若 lim x_ny_n = 0 ，则必有 lim x_n = 0 或 lim y_n = 0 。
反例：{x_n} = {0, 1, 0, 2, 0, 3……} ，{y_n} = {1, 0, 2, 0, 3, 0……} 。

5）乘积为 ∞ ，未必有 ∞

举例：当 n → ∞ 时，若 lim x_ny_n = ∞ ，则必有 lim x_n = ∞ 或 lim y_n = ∞ 。
反例：{x_n} = {1, 1, 3, 1, 5, 1……} ，{y_n} = {1, 2, 1, 4, 1, 6……} 。

7. 经典例题

① 【2008 年真题】设函数 f(x) 在 (-∞ , +∞) 内单调有界，{x_n} 为数列，下列命题正确的是（ B ）。
A. 若 {x_n} 收敛，则 {f(x_n)} 收敛
B. 若 {x_n} 单调，则 {f(x_n)} 收敛
C. 若 {f(x_n)} 收敛，则 {x_n} 收敛
D. 若 {f(x_n)} 单调，则 {x_n} 收敛

已知 {x_n} 单调 + {x_n} 有界 ⇒ {x_n} 收敛，那么 {f(x_n)} 单调 + {f(x_n)} 有界 ⇒ {f(x_n)} 收敛。下面有四种情况：

• f(x) 单调 ⇏ f(x_n) 单调；
• f(x) 有界 ⇒ f(x_n) 有界；
• {x_n} 收敛 ⇏ {x_n} 单调；
• {x_n} 收敛 ⇒ {x_n} 有界。

② 【2017 年真题】设数列 {x_n} 收敛，则（ D ）。
A. 当 lim_n→∞ sin(x_n) = 0 时，lim_n→∞ x_n = 0 。
B. 当 lim_n→∞ (x_n + √|x_n|) = 0 时，lim_n→∞ x_n = 0 。
C. 当 lim_n→∞ (x_n + x_n²) = 0 时，lim_n→∞ x_n = 0 。
D. 当 lim_n→∞ [x_n + sin(x_n)] = 0 时，lim_n→∞ x_n = 0 。

三、数列极限计算

1. 不定式（连续化处理）

将数列极限当作函数极限进行求解，即将 lim_n→∞ f(n) 转换成 lim_x→+∞ f(x) 处理 。

需要注意的是：在使用洛必达法则进行求解时，需要将数列极限进行改写。

2. n 项和

1）用夹逼准则 / 定积分定义

① 夹逼准则

② 作差法（拟合法）——利用定积分定义

定积分定义求和式极限：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i-1}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx\text{\hspace{1em}(式1)}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{2i-1}{2n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx（中点）\text{\hspace{1em}(式2)}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{2n}f\left(\frac{i}{n}\right)={\int }_0^{2}f(x)dx\text{\hspace{1em}(式3)}$$

【注】：“连乘形式” 取对数后变成 “加和形式” 。

③ 夹逼准则与定积分定义混合使用

2）有理式拆解抵消

裂项相消的常用公式：

$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$

$$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$$

3）ⁿ√￣

用夹逼准则进行放缩时，可以考虑把每一项放缩成最大 / 最小，也可以考虑划掉一些项，还可以使用错位法（后续介绍）。

例如：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n}$$

进行缩放为：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{3^n}\le \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n}\le \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{3^n+3^n+3^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{3\times 3^n}$$

如果左边缩放为：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{1^n+1^n+1^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{3\times 1^n}$$

那夹逼准则就没有意义了。

【注意】：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{A}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{A^n+B^n+C^n}=\max (A,B,C)$$

3. n 项积

1）夹逼准则（用错位法进行放缩）

下面举例说明：

2）取对数 ln

下面举例说明：

四、间断点、极限式定义的函数

1. 函数的连续

1）连续的判定

$$若\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0),则称f(x)在x_0处连续$$

$$(1)不分左右极限时：\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

$$(2)需分左右极限时：\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

2）连续的保号性

已知 f(x) 在 x = x₀ 处连续，

• 若 f(x₀) > 0 ，则在 x₀ 的邻域内 f(x) > 0 ；

• 若 f(x₀) < 0 ，则在 x₀ 的邻域内 f(x) < 0 。

2. 间断点

若 f(x) 在 x₀ 某去心领域有定义，但在 x₀ 处不连续，则称点 x = x₀ 为函数 f(x) 的间断点。

1）第一类间断点

左右极限均存在：

• ① 可去间断点：左右极限均存在且相等；

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ne f(x_0)(极限存在)$$

• ② 跳跃间断点：左右极限均存在且不相等。

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)(左右极限均存在)$$

2）第二类间断点

左右极限中至少有一个不存在：

• ① 无穷间断点：左右极限至少有一个为无穷；

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x),\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)至少有一个是\infty$$

• ② 振荡间断点。

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)至少有一个是不唯一$$

3）做题技巧

第一步：找间断点

先找分母为 0 的点，再找 ln 中为 0 的点。

下面举例说明：

【注意】：在判断间断点类型时：非 0 因子直接代入即可。

第二步：化简f(x)

观察多项式是否可以进行因式分解。

下面举例说明：

3. 极限式定义的函数

两个重要的极限式：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=\{\begin{array}{l}0,|x|<1\\ \infty ,|x|>1\\ 1,x=1\\ 不存在,x=-1\end{array}\text{\hspace{1em}(式1)}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{nx}=\{\begin{array}{l}0,x<0\\ +\infty ,x>0\\ 1,x=0\end{array}\text{\hspace{1em}(式2)}$$

下面举例说明：

五、函数及其性态

1. 符号函数、取整函数、反函数、复合函数

1）符号函数 y = sgn(x)

$$sgn(x):=\{\begin{array}{l}-1,x<0\\ 0,x=0\\ 1,x>0\end{array}$$

符号函数的特性如下：

• 其定义域为 R ，值域为 {-1, 0, 1} 。

• 有唯一的跳跃间断点 x = 0 。

• 单调性：它是不严格递增的非周期函数。

• 奇偶性：由 sgn(-x) = -sgn(x) 可知它在定义域 R 内是奇函数。

• 可导性：它在非原点处都可导，且导数为 0 。

• 它在 (-∞, +∞) 上没有原函数。

• x = |x|·sgn(x) 。

2）取整函数 y = [x]

取整函数 y = [x] 为不超过 x 的最大正整数。

符号函数的特性如下：

• 对任意 x ∈ R ，均有 x - 1 < [x] ≤ x < [x] + 1 。

• 对任意 x ∈ R ，y = [x] 的值域为 Z 。

• 取整函数（高斯函数）是一个不减函数，即 ∀ x₁, x₂ ∈ R ，x₁ < x₂ ⇒ [x₁] ≤ [x₂] 。

• 若 x, y ∈ R ，则 [x] + [y] ≤ [x + y] ≤ [x] + [y] + 1 。

【注】：
I、取整函数在数轴上表现为：往左取。
II、取整函数需要分左右极限进行讨论。
III、需要重点关注不等式：x - 1 < [x] ≤ x 。
IV、可以使用夹逼准则求极限。

3）反函数

定义：设函数 y = f(x) 的定义域是 D ，值域是 f(D) 。如果对于值域 f(D) 中的每一个 y ，在 D 中有且只有一个 x 使得 g(y) = x ，则按此对应法则得到了一个定义在 f(D) 上的函数，并把该函数称为函数 y = f(x) 的反函数，记为：x = f^-1(y) , y ∈ f(D)

反函数的特性如下：

• 函数存在反函数的充要条件是：函数的定义域与值域是一一映射。

• 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致，且关于 y = x 对称。

• 严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。

• 反函数是相互的且具有唯一性。

• 定义域、值域相反、对应法则互逆（三反）。

• y = x 的反函数是它本身。

• f^-1(f(x)) = x (x ∈ D) 或 f(f^-1(x)) = x (x ∈ f(D)) 。

4）复合函数

复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能有两个以上，如 y = f(u) ，u = φ(v) ，v = ψ(x) ，则函数 y = f{φ[ψ(x)]} 是 x 的复合函数，而 u 、v 都是中间变量。

5）例题

① 已知 f(x + 1) 的定义域为 [0, a] ，则 f(x) 定义域为：[1, a + 1] 。

② 已知 f(x) 的定义域为 [-1, 5] ，求 f(3x - 5) 定义域：[4/3, 10/3] 。

③ 已知 f(x + 1) 的定义域为 [1, 2] ，求 f(3 - x) 定义域为：[0, 1] 。

④ 已知 f(3x - 1) 的定义域为 (3, 5) ，求 f(2x - 3) 定义域为：(11/2, 17/2) 。

2. 单调性

【注】：若 f(x) 在区间 I 上可导，f’(x) > 0 ⇒ f(x) 单调递增；f’(x) ≥ 0 ⇔ f(x) 单调不减。但是，f(x) 单调递增不能推出 f’(x) > 0 ，例如 f(x) = x³ 。

3. 奇偶性

奇偶性是函数的基本性质之一。

• 一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(-x) = f(x) ，那么函数 f(x) 就叫偶函数；

• 一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(-x) = -f(x) ，那么函数 f(x) 就叫奇函数。

【注】：若 f(x) 是奇函数 ⇒ f’(x) 是偶函数；若 f(x) 是偶函数 ⇔ f’(x) 是奇函数。但是，f’(x) 是偶函数不能推出 f(x) 是奇函数（奇函数需要满足 f(0) = 0 的条件）。

4. 周期性

设 f(x) 是定义在数集 M 上的函数，如果存在非零常数 T 具有性质：f(x + T) = f(x) ，则称 f(x) 是数集 M 上的周期函数，常数 T 称为 f(x) 的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数 f(x) 的最小正周期。

【注】：周期函数的导函数也是周期函数；但是周期函数的原函数不一定是周期函数。

5. 有界性

六、数列极限证明

1. 单调有界准则

（1）若 {x_n} 递增，且 x_n ≤ M ，则 {x_n} 收敛；

（2）若 {x_n} 递减，且 x_n ≥ m ，则 {x_n} 收敛。

• 第一步：证明有界性；

• 第二步：证明单调性；

• 第三步：利用两边取极限求出极限值。

【注】：在写第一步前就可以先在草稿纸上计算出第三步的值。

1）证明有界性

• 数学归纳法
  第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数 n 有关的命题 P(n) ，有如下步骤：
  （1）证明当 n = 0 时命题成立；
  （2）假设当 n = k（k > 0，k 为自然数）时命题成立；
  （3）证明当 n = k + 1 时命题也成立。
  综合 (1) (2) (3)，对一切自然数 n（≥ 0），命题 P(n) 都成立。
  第二数学归纳法（完整归纳法）：
  （1）证明当 n = 0 时命题成立；
  （2）假设当 n < k（k > 0，k 为自然数）时命题成立；
  （3）证明当 n = k 时命题也成立。
  综合 (1) (2) (3)，对一切自然数 n（≥ 0），命题 P(n) 都成立。

• 不等式
  例如：a + b ≥ 2√ab 或 ab ≤ [(a + b) / 2]² 、e^x - 1 ≥ x 、ln(1 + x) ≤ x 等

2）证明单调性

• 若首项未知：直接做差，观察 x_n+1 - x_n 的大小（≥ 0 或 ≤ 0）
  或者利用 x_n+1 / x_n（≥ 1 或 ≤ 1），可以依据情况巧用拉格朗日中值定理

注意：不一定局限于 x_n+1 - x_n ，还可以是 e^Xn+1 - e^Xn 等诸如此类的“外层函数单调”的类型，若 e^Xn+1 > e^Xn ，则说明 x_n+1 > x_n ；若 e^Xn+1 < e^Xn ，则说明 x_n+1 < x_n 。

• 若首项已知：利用递推函数的导函数判定数列单调性
  

• 数学归纳法

3）例题

2. 先斩后奏

柯西收敛准则：若数列无单调性时，将无法利用 “单调有界准则” 证明极限存在，此时可使用 “柯西收敛准则” 的方法，即证明 |x_n - a| → 0 。

柯西收敛准则的核心在于：求解出 |f’(ξ)| = k < 1 。

下面举例说明：

3. 方程根构成的数列极限问题

由方程根构成的数列极限问题基本都是利用单调有界准则来做的：

4. 由不等式关系证明数列极限存在

下面举例说明：

【注】：这类题型主要也用“单调有界准则”进行处理。需要注意的是，在使用两边取极限时，可能会运用到“等式戴帽法”。例如：已知 f(x_n) < 1 ，若 lim_n→∞f(x_n) = A ，则有 A ≤ 1 。

七、闭区域连续函数性质

• 连续函数的 和、差、积、商、复合 都连续。

• 基本初等函数在定义域内连续；初等函数在定义区间内连续。
  高等数学将基本初等函数归为五类：“反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数”。初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。

• 闭区间上连续函数的性质：
  （1）有界性：若 f(x) 在 [a, b] 上连续，则 f(x) 在 [a, b] 上有界。
  （2）最值性：若 f(x) 在 [a, b] 上连续，则 f(x) 在 [a, b] 上必有最大值和最小值。
  （3）介值性：若 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) ≠ f(b) ，则对 f(a) 与 f(b) 之间任一数 C ，至少存在一个 ξ ∈ (a, b) ，使得 f(ξ) = C 。

1. 介值定理

介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一。

其内容为：若函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f(x) 在 [a, b] 可取到介于最小值 m 与最大值 M 之间的任何值。

下面举例说明：

2. 零点定理

零值定理为介值定理的推论，又名零点定理。

其内容为：设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a)·f(b) < 0），则在开区间 (a, b) 内 f(x) 至少有一个零点，即至少有一点 ξ（a < ξ < b）使得 f(ξ) = 0 。

下面举例说明：

推广的零点定理：设函数 f(x) 在开区间 (a, b) 上连续，f₊(a) 与 f_-(b) 都存在或为 ∞ ，且 f₊(a) 与 f_-(b) 异号，则在开区间 (a, b) 内至少存在一点 ξ（a < ξ < b）使得 f(ξ) = 0 。