数据结构---树、二叉树、有序二叉树、线索二叉树、选择树(胜者树、败者树)、堆、平衡二叉树、红黑树

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_49032189/article/details/121584417

树

1、树的基本概念
一种表示层次关系(一对多)的数据结构
有且仅有一个特定的节点，该节点没有前驱，被称为根节点。
剩余的n个互不相交的子集组成，其中的每一个子集也都是一棵树，被称为根节点的子树
注意：树型结构具有递归性(树中有树)

2、树的表示方法：倒悬树、嵌套法、凹凸法

3、树的专业术语(不同资料略有不同)

	节点：组成树的基础元素，同时它也可以是一棵树
	节点的度：该节点子树的数量
	树的度：树中的节点的数量
	节点的层次：根节点层次为1，它的孩子层次为2，孩子的孩子层次为3，以此类推
	树的深度/高度：树的最大层次数
	叶子节点：节点的度为0的节点
	双亲和孩子：节点的子树都称为孩子节点，该节点就是它们的双亲节点
	兄弟：具有同一个双亲节点，被称为兄弟节点
	祖先：从根节点出发到该节点，中间经过的所有节点都称为它的祖先
	子孙：一个节点的子树中的任意一个节点都称为它的子孙
	堂兄弟：双亲在同一层的节点，称为堂兄弟节点
	森林：n个互不相交的树的集合称为森林

4、树的存储
树可以顺序存储、链式存储，还可以混合存储，由于存储的信息不同，有以下三种常见表示方式：

 双亲表示法(顺序)：
 	位置    data	双亲下标
 	优点：方便找到双亲
 	缺点：不方便找孩子
 孩子表示法(顺序)：
 	位置    data    sub_arr
 	缺点：浪费空间
 孩子表示法(链式+顺序)：
 	位置    data    sub_list
 	优点：节约空间
 孩子表示法(不管什么方法)：
 	优点：找孩子方便
 	缺点：找双亲不方便
 兄弟表示法：
     双亲只存储第一个孩子节点，然后链式指向所有的兄弟节点
     第一个子节点    数据    兄弟链表头结点
     优点：可以方便查询到所有的兄弟节点
     缺点：查询双亲比较麻烦

总结：普通树不常用，一般会转换成二叉树使用

二叉树

是一种常用的数据结构
定义：所有节点的度最多为2
二叉树的性质：【重点】

性质1：二叉树的第i层上至多有2^(i-1)（i≥1）个节点。
    满二叉树：每层的节点数都是2^(i-1)
    完全二叉树：
        1、深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应时，称为完全二叉树
        2、除了最后一层外，其余每一层都是满的，最后一层的节点必须从左到右分布，就是完全二叉树
        3、如果所有的节点都满足从上到下、从左到右分布，就是完全二叉树
        
性质2：深度为h的二叉树中至多含有2^h-1个节点。

性质3：若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子节点，有n2个度为2的节点，则必有n0=n2+1。

性质4：具有n个节点的完全二叉树深为log2n+1 log2的n次方+1

性质5：若对一棵有n个节点的完全二叉树进行顺序编号（1≤i≤n），那么，对于编号为i（i≥1）的节点：
    当i=1时，该节点为根，它无双亲节点。
    当i>1时，该节点的双亲节点的编号为i/2。
    若2i≤n，则有编号为2i的左节点，否则没有左节点。
    若2i+1≤n，则有编号为2i+1的右节点，否则没有右节点。

二叉树的操作：
构建、销毁、遍历、高度、密度、插入、删除、求左、求右、求根

二叉树的遍历：
前序：根左右
中序：左根右
后序：左右根
注意：前中后由根节点决定，并且左右子树的次序不能改变
注意：根据前序+中序或者后序+中序可以还原出一棵树，但是前序+后序是无法还原的
层序遍历：从上到下，从左到右来遍历一棵树，必须配合队列使用

二叉树的存储：
1、顺序：必须按照完全二叉树的格式进行存储，空位置使用特殊数据代替

数据项：
	存储节点的内存首地址
	容量

注意：通过编号的关系来找到双亲、孩子节点

2、链式：由一个个节点组成，通过左右子树指针指向自己左右子树

节点数据项：
	数据
	左子树指针
	右子树指针

有序二叉树

左子树的数据小于根，右子树大于等于根，这种树叫做有序二叉树
注意：由于有序二叉树的节点需要频繁地插入删除，因此不适合采用顺序存储
有序二叉树的中序遍历，一定是从小到大，所以有序二叉树也是一种排序算法，它的查找天然又是二分查找，所以经常考。

线索二叉树

规律：在有n个节点的链式二叉树中，必定有n+1个空指针域
链式二叉树中有很多的空指针，可以让这些指针的一部分指向下一个节点，这样遍历树时可以不用递归而是使用循环，提高树的遍历速度
中序线索二叉树：
节点数据项：
数据
左子树指针
右子树指针
右子树指针标志(真表示指向的是下一个节点，假表示指向的就是右子树)
实现过程：
1、创建线索
2、按照线索进行遍历
注意：线索二叉树的主要目的是为了提高树的遍历速度

//  上一个节点
TreeNode* prev = NULL;

//  按照中序遍历，并创建线索
void create_clue(TreeNode* root)
{
	if(NULL == root)	return;

	//  左
	create_clue(root->left);

	//  根
	if(NULL != prev && NULL == prev->right)
	{
		prev->right = root;
		prev->rclue = true;
	}
	//  判断结束后，root就变成了上一个节点
	prev = root;

	//  右
	create_clue(root->right);
}

//  按照线索进行遍历
void clue_show(TreeNode* node)
{
	while(node)
	{
		while(node->left)	node = node->left;
		printf("%d ",node->data);
		while(node->rclue)
		{
			node = node->right;
			printf("%d ",node->data);
		}
		node = node->right;
	}
}

线索二叉树的其他功能和有序二叉树一样

选择树(胜者树、败者树)

是一颗完全二叉树，把待比较的数据存储在最后一次，根节点是左右子树中的一个，是它们的最大或最小的作为根，选择树的功能是能够方便地找出树中的最大值或者最小值。

堆

是一种完全二叉树，不适合链式存储
大顶堆(大根堆)：根节点比左右子树大
小顶堆(小根堆)：根节点比左右子树小
数据项：
    存储数据的内存首地址
    容量
    数量
运算：
    创建、添加、删除、空堆、满堆、堆顶

使用堆可以实现优先队列

平衡二叉树

前提是有序的二叉树，它的左右子树的高度差不超过1，而且它的所有子树也要满足这个条件。
如果一棵有序二叉树呈单支状(接近单支状)，它的查找效率接近链表，因此如果让它达到平衡的状态它的效率才最高
由于节点的位置是受值的影响，因此只能进行调整，而不能强行修改

    二叉树不平衡的基础原因：
            x                            y
           / \                         /   \
          y  t1     以y为轴向右旋转    z     x
         / \                         / \   / \
        z  t2                       t3 t4 t2 t1
       / \
      t3 t4

        x                               y
       / \                            /   \
      t1  y         以y为轴向左旋转   x     z
        / \                         / \   / \
       t2  z                       t1 t2 t3 t4
         / \
        t3  t4

            x                          x                 z
           / \                       /   \             /   \
          y  t1                     z     t1          y     x
         / \                       / \               / \   / \
        t2  z                     y   t4            t2 t3 t4 t1
           / \                   / \
          t3  t4                t2 t3
        以z为轴向左旋转         以z为轴向右旋转      最终达到平衡

            x                          x                z
           / \                        /  \             /  \
          t1  y                      t1   z           x    y
             / \                         / \         / \  / \
            z  t2                       t3  y       t1 t3 t4 t2
           / \                             / \
          t3 t4                           t4  t2
        以z为轴向右旋转         以z为轴向左旋转      最终达到平衡