算法与数据结构（六）：树之折纸问题

算法与数据结构（六）：树之折纸问题

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• 树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如家谱、单位的组织架构、等等。树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
• 树的相关术语：

结点的度：
一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；
叶结点：
度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点
分支结点：
度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点
结点的层次：
从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推
结点的层序编号：

将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。
树的度：

树中所有结点的度的最大值
树的高度(深度)：

树中结点的最大层次
森林：

m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树

孩子结点：
一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点
双亲结点(父结点)：
一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点
兄弟结点：
同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

折纸问题：

• 请把一段纸条竖着放在桌子上，然后从纸条的下边向上方对折1次，压出折痕后展开。此时 折痕是凹下去的，即折痕突起的方向指向纸条的背面。如果从纸条的下边向上方连续对折2 次，压出折痕后展开，此时有三条折痕，从上到下依次是下折痕、下折痕和上折痕。给定一 个输入参数N，代表纸条都从下边向上方连续对折N次，请从上到下打印所有折痕的方向 例如：N=1时，打印： down；N=2时，打印： down down up

实现思路：

• 对于折纸问题，完全二叉树是一种实现思路，把第一次折痕看做这个树的根节点，左边的折痕为down，右边的折痕为up，每折一次都对叶子节点进行增加两个子节点，左子节点为down，右子节点为up
• 找到叶子节点通过层序遍历查找，也可通过前序，中序，后序遍历查找到叶子节点
• 打印从上到下打印折痕，说明是中序遍历打印

折纸问题的实现代码如下：

---

package com.victor.tree;

import com.victor.linear.Queue;

/**
 * @description: 利用完全二叉树解决折纸问题
 * @author: victor
 */
public class PageFolding {
    public static void main(String[] args) {
        Node<String> tree = createTree(2);
        printTree(tree);
    }

    /**
     * 内部类节点类
     *
     * @param <T> 泛型
     */
    private static class Node<T> {
        T item;
        Node<T> left;
        Node<T> right;

        public Node(T item, Node<T> left, Node<T> right) {
            this.item = item;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }

    /**
     * 生成N层深度的树
     *
     * @param N 深度
     * @return 树
     */
    public static Node<String> createTree(int N) {

        Node<String> root = null;   //定义根节点

        for (int i = 0; i < N; i++) {
            //第一层
            if (i == 0) {
                root = new Node<>("down", null, null);
                continue;
            }
            //层序遍历，找到叶子节点，将down和up放进去
            Queue<Node<String>> nodes = new Queue<>();
            nodes.enqueue(root);    //放入根节点
            while (!nodes.isEmpty()) {
                Node<String> node = nodes.dequeue();
                //如果有左子节点，把左子节点放入队列中
                if (node.left != null) nodes.enqueue(node.left);
                //如果有右子节点，把右子节点放入队列中
                if (node.right != null) nodes.enqueue(node.right);
                //如果没有左子节点，也没有右子节点，生成新的节点
                if (node.left == null && node.right == null) {
                    node.left = new Node<>("down", null, null);
                    node.right = new Node<>("up", null, null);
                }
            }
        }

        return root;
    }

    /**
     * 以递归的方式，采用中序遍历打印树
     *
     * @param node 树
     */
    public static void printTree(Node<String> node) {
        //如果为null直接返回
        if (node == null) return;
        //打印左子树
        if (node.left != null) printTree(node.left);
        //打印节点
        System.out.print(node.item + " ");
        //打印右子树
        if (node.right != null) printTree(node.right);

    }

}