MATLAB学习（十）：线性方程式与线性系统

线性方程式与线性系统

线性方程式

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AX=b

逐次消元法

高斯消去法

• rref():将一个线性方程式的增广矩阵转化为除了对角线元素为1外，其余元素均为0

>> A=[1 2 1; 2 6 1; 1 1 4];
>> b=[2;7;3];
>> R=rref([A b])

R =

     1     0     0    -3
     0     1     0     2
     0     0     1     1

**LU分解法LU Factorization **

• lu()实现LU分解法

>> A=[1 1 1;2 3 5; 4 6 8];
>> [L, U, P]=lu(A)

L =

    1.0000         0         0
    0.2500    1.0000         0
    0.5000         0    1.0000


U =

    4.0000    6.0000    8.0000
         0   -0.5000   -1.0000
         0         0    1.0000


P =

     0     0     1
     1     0     0
     0     1     0

矩阵分解的函数

通常使用左除进行线性方程组求解

>> A=[1 2 1 ;2 6 1;1 1 4];
>> b=[2;7;3];
>> x=A\b

x =

   -3.0000
    2.0000
    1.0000

克莱默法则

逆矩阵
adj(A)：A的伴随矩阵
det(A):A的行列式

• inv():求矩阵的逆

A = [1 2 1;2 6 1;1 1 4];
b = [2; 7; 3];
x = inv(A)*b

当矩阵的逆矩阵不存在时

• cond()求解矩阵的条件数，矩阵越健康，条件数越小

A = [ 1 2 3; 2 4.0001 6; 9 8 7]; cond(A)
B = [ 1 2 3; 2 5 6; 9 8 7]; cond(B)
ans =

   4.3483e+05
ans =

   45.5623

线性系统

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Ab=y

• eig()求解矩阵的特征值和特征向量
• 下图代码中，矩阵v的列向量为原矩阵的特征向量，-1 -2分别为对应的特征值

>> [v,d]=eig([2 -12;1 -5])

v =

    0.9701    0.9487
    0.2425    0.3162


d =

   -1.0000         0
         0   -2.0000

矩阵指数

• expm()计算矩阵指数

>> A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1];
exp(A)

ans =

    2.7183    2.7183    1.0000
    1.0000    1.0000    7.3891
    1.0000    1.0000    0.3679