组合数问题(组合数,二维前缀和)

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这篇博客探讨了一道组合数问题的解决方案，利用递推公式C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1]计算组合数，并针对多组数据，通过存储组合数的余数和二维前缀和的方法，求解nm之前余数为0的组合数之和。算法处理了大数范围，确保了效率和正确性。

组合数问题

题目链接
在这里插入图片描述

数据范围

n,m≤2000,2≤k≤21,t≤10⁴

输入样例：

1 2
3 3

输出样例：

算法分析

这是一道组合数的问题,由于有多组数据,我们可以先处理组合数的问题,运用递推
C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1] 来求出每一个组合数的数量
如果说可以整除k的话我们存储组合数的时候就直接储存余数,然后再处理前缀和的时候我们将余数为0的点初值赋为1,
然后二维前缀和进行加和.求出nm之前余数为0的点的总和.

代码实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,k,t;
const int maxn=2e3+5;
int C[maxn][maxn];
int s[maxn][maxn];
void init()
{
    for(int i=0;i<maxn;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            if(j==0)
                C[i][j]=1;
            else
            {
                C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%k;
            }
        }
    for(int i=0;i<maxn;i++)
        for(int j=0;j<maxn;j++)
        {
            if(j<=i&&C[i][j]==0)
                s[i][j]=1;
            if(i>=1)
                s[i][j]+=s[i-1][j];
            if(j>=1)
                s[i][j]+=s[i][j-1];
            if(j>=1&&i>=1)
                s[i][j]-=s[i-1][j-1];
        } 
}
int main()
{
    cin>>t>>k;
    init();
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m;
        cout<<s[n][m]<<endl;
    }
    return 0;
}