UVa10006_Carmichael Numbers: 素数判定+快速幂——《挑战程序设计竞赛》

UVa10006_Carmichael Numbers: 素数判定+快速幂

题目：

基于给定的一系列数字 n，判断 n 是不是Carmichael Numbers，条件是：n 不是素数且满足对于任意 1~n 之间的整数 x 都有 xⁿ mod n = x。

思路：

首先判断 n 是不是素数，如果不是素数再遍历 1~n 之间的数，求出每一个 xⁿ，看是不是满足条件，对于 xⁿ 可以使用书上讲的反复平方法进行快速幂运算。判断是不是素数已经在前面的博客中讲过就不再赘述了。这篇我们主要看看快速幂。

快速幂：

这个代码返回xⁿ % mod 的值，主要原理就是把x的n次方拆分成x平方的平方的平方…
也就是像下面这张图：

然后每次看n是偶数还是奇数，如果是奇数就要先让res乘一个x，这样右移的时候这个幂不会没有乘（就是代码说的这样，嗯 ）

ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod) {
	ll res = 1;
	while (n > 0) {
		if (n & 1)//如果n的最后一位是1，也就是说n是奇数，不能除以2
			res = res * x % mod;
		x = x * x % mod;
		n >>= 1;//n右移一位，也就是去掉最低位
	}
	return res;
}

代码实现：（带注释）

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAX_N = 65001;

bool visit[MAX_N];

//判断是不是素数
void sieve(ll n) {
	memset(visit, 1, sizeof(visit));
	visit[0] = visit[1] = 0;
	for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
		if (visit[i])
		{
			for (int j = 2 * i; j <= n; j += i)
			{
				visit[j] = 0;
			}
		}
	}
	return;
}

//快速幂
ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod) {
	ll res = 1;
	while (n > 0) {
		if (n & 1)//如果n的最后一位是1，也就是说n是奇数，不能除以2
			res = res * x % mod;
		x = x * x % mod;
		n >>= 1;//n右移一位，也就是去掉最低位
	}
	return res;
}

int main() {
	sieve(MAX_N - 1);//先把MAX_N以内的素数都找出来放在数组里（也就是打表），就不用每个样例都找一遍了
	int sum;//样例总数
	cin >> sum;
	int n;
	while (sum--) {
		cin >> n;
		bool flag = true;
		if (!visit[n]) {//如果不是素数再查看是不是满足条件
			for (int x = 2; x < n; x++) {//遍历每一个1~n之间的数
				int t = mod_pow(x, n, n);
				if (t != x) {
					flag = false;
					break;
				}
			}
		}
		else
		{
			flag = false;
		}
		if (flag) {
			cout << "YES" << endl;
		}
		else {
			cout << "NO" << endl;
		}
	}
	return 0;
}

/*Input:
3
17
561
4
*/

/*Output:
NO
YES
NO
*/

以上是本人的粗略讲解，欢迎各路大佬批评指正！