量化面试绿皮书：28. 生日问题

文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

28. 生日问题

Q: 我们需要多少人在一个班级里，才能使至少两个人有相同生日的概率大于1/2？（为了简化，假设一年有365天。）

A: 根据生日悖论，当班级中有 $n$ 个人时，至少两个人共享相同生日的概率可以通过计算所有人生日都不同的互补概率来求解。假设一年有 365 天，且生日均匀分布。

定义 $Q(n)$ 为所有 $n$ 个人生日都不同的概率：

$$Q(n)=\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times \cdots \times \frac{365-n+1}{365}=\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-\frac{k}{365}\right)$$

则至少两个人共享相同生日的概率为：

$$P(\text{至少一个共享生日})=1-Q(n)$$

我们需要找到最小的整数 $n$，使得 $1-Q(n)>0.5$，即 $Q(n)<0.5$.

通过计算不同 $n$ 值下的 $Q(n)$：

• 当 $n=22$ 时，$Q(22)\approx 0.5243$，因此 $1-Q(22)\approx 0.4757<0.5$。
• 当 $n=23$ 时，$Q(23)\approx 0.4927$，因此 $1-Q(23)\approx 0.5073>0.5$.

因此，当班级中有 23 人时，至少两个人共享相同生日的概率首次超过 50%（约为 50.73%）。对于 $n=22$，概率约为 47.57%，低于 50%，所以 23 是最小满足条件的整数。

答案：需要一个班级中有 23 人，才能使至少两个人有相同生日的概率大于 1/2。

Python 实现

以下是使用Python实现的解决方案：

def find_min_class_size(days: int = 365, target_prob: float = 0.5) -> int:
    """计算使至少两人生日相同的概率超过目标概率的最小人数。

    Args:
        days (int, optional): 一年中的天数. Defaults to 365.
        target_prob (float, optional): 目标概率阈值. Defaults to 0.5.

    Returns:
        int: 满足条件的最小人数 n
    """
    # 边界情况处理
    if target_prob <= 0:
        return 2  # 任何两人及以上都满足概率>0
    if target_prob > 1.0:
        return -1  # 不可能达到的概率值

    n = 1
    prob_all_distinct = 1.0  # 所有人生日都不同的概率

    while n <= days:
        # 计算当前n对应的"至少两人相同生日"的概率
        prob_duplicate = 1.0 - prob_all_distinct

        # 检查是否达到目标概率
        if prob_duplicate > target_prob:
            break

        # 增加一个人并更新概率
        n += 1
        if n <= days:
            # 更新"所有生日都不同"的概率
            prob_all_distinct *= (days - (n - 1)) / days

    return n


# 计算结果并打印
DAYS = 365
TARGET = 0.5

min_size = find_min_class_size(DAYS, TARGET)
print(f"需要至少 {min_size} 人才能使至少两人生日相同的概率 > {TARGET}")

代码说明

1. 核心逻辑：

   • find_min_class_size()函数实现生日悖论计算：
     • 初始化prob_all_distinct = 1.0（n=1时所有生日不同的概率）
     • 迭代增加人数n，更新所有生日不同的概率：
       prob_all_distinct *= (365 - (n-1)) / 365
     • 计算至少两人相同的概率：1 - prob_all_distinct
     • 当概率首次超过0.5时终止循环

2. 边界处理：

   • 目标概率≤0时返回2（两人即满足概率>0）
   • 目标概率>1时返回-1（不可能情况）
   • 处理n>365的边界条件

3. 主函数：

   • 设置常量DAYS=365和TARGET=0.5
   • 调用核心函数并格式化输出结果

需要至少 23 人才能使至少两人生日相同的概率 > 0.5

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这道面试题的本质是考察候选人将概率问题转化为可计算模型的能力和通过数值方法求解复杂概率问题的实践技能，这类能力直接对应量化金融中的风险管理、衍生品定价和统计套利等领域的核心挑战。

🔑 核心知识点

1. 概率建模
   • 互补事件概率转换（$P(\text{至少1重复})=1-P(\text{全不同})$）
   • 独立事件概率的链式乘法（生日独立假设）
2. 数值计算
   • 迭代算法设计（避免阶乘溢出）
   • 浮点数精度控制（概率累积计算）
3. 边界条件处理
   • 目标概率 $>1$ 或 $\le 0$ 的特殊情况
   • 人数超过样本空间（$n>365$）的逻辑处理
4. 金融场景映射
   • 碰撞概率（Collision Probability）在哈希算法、订单簿冲突检测中的应用
   • 违约相关性建模（多实体同时违约的概率）

📊 面试评估维度

考察维度	具体表现要求	本题对应点
数学抽象能力	将现实问题转化为概率模型	将生日重复问题转化为互补事件概率计算
算法实现能力	设计高效、健壮的数值解法	通过迭代避免 $365!$ 溢出，处理边界条件
金融联想力	理解概率模型在金融场景的延伸	类似方法用于计算交易订单碰撞、信用组合违约相关性
代码严谨性	符合工程规范（类型注解、边界检查）	处理 $target\_prob>1$ 等异常输入

🧩 典型回答框架

1. 问题转化
   • 明确目标：$P(\text{至少1重复})>0.5$
   • 等价转换：$P(\text{全不同})<0.5$
2. 建模核心
   • 初始化 $P(\text{全不同})=1.0$
   • 迭代更新：$P_k=P_{k-1}\times \frac{365-(k-1)}{365}$
3. 终止条件
   • 当 $1-P(\text{全不同})>0.5$ 时返回 $k$
4. 边界处理
   • 若目标概率 $\le 0$：直接返回最小人数 2
   • 若目标概率 $>1$：返回错误码（如 -1）
   • 若 $k>365$：强制终止（概率必为 1）

💡 核心洞察

该问题在量化面试中看似考察基础概率，实则评估候选人三层深度能力：

1. 模型迁移能力
   • 生日悖论算法可直接用于高频交易中的订单碰撞检测（如两笔订单同时触发同一价格）
   • 类似逻辑用于计算信用组合违约相关性（多债务人同时违约的概率）
2. 数值稳定性敏感度
   • 金融场景要求绝对避免阶乘计算（$365!\approx 10^{778}$ 导致溢出），迭代解法体现工程化思维
3. 概率直觉验证
   • 结果反常识（23人 >50%），考察对高维稀疏事件的认知（类似期权波动率曲面建模中的尾部风险）
4. 扩展价值
   • 修改参数（如 $days=252$ 交易日）可计算交易信号重复概率，直接服务于量化策略开发

风险提示与免责声明
本文内容基于公开信息研究整理，不构成任何形式的投资建议。历史表现不应作为未来收益保证，市场存在不可预见的波动风险。投资者需结合自身财务状况及风险承受能力独立决策，并自行承担交易结果。作者及发布方不对任何依据本文操作导致的损失承担法律责任。市场有风险，投资须谨慎。