量化面试绿皮书：26. 忙碌的兔子-优快云博客

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文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

26. 忙碌的兔子

一只兔子坐在有n阶的楼梯底部。
兔子每次只能向上跳一阶或两阶。

Q: 兔子到达楼梯顶部的不同方式有多少种？

A: 兔子到达 n 阶楼梯顶部的不同方式数遵循斐波那契数列的性质。具体来说，该方式数等于斐波那契数列的第 $n + 1$ 项，其中斐波那契数列定义为：

$F_1 = 1$
$F_2 = 1$
$F_k = F_{k-1} + F_{k-2}$ （当 $k > 2$ 时）

因此，设 $f (n)$ 为到达第 $n$ 阶的方式数，则有：

$f(n) = F_{n+1}$

递推关系

当 $n = 1$ 时：只有一种方式（跳一阶），所以 $f (1) = 1$ 。
当 $n = 2$ 时：有两种方式（两次跳一阶，或一次跳两阶），所以 $f (2) = 2$ 。
当 $n > 2$ 时： $f (n) = f (n - 1) + f (n - 2)$ ，因为到达第 $n$ 阶的最后一步是从第 $n - 1$ 阶跳一阶或从第 $n - 2$ 阶跳两阶。

示例

如果 $n = 1$ ：方式数 = $F_{2} = 1$
如果 $n = 2$ ：方式数 = $F_{3} = 2$
如果 $n = 3$ ：方式数 = $F_{4} = 3$ （方式：跳三次一阶、先跳一阶再跳两阶、先跳两阶再跳一阶）
如果 $n = 4$ ：方式数 = $F_{5} = 5$ （方式：四次一阶；两次一阶加一次两阶的三种排列；两次两阶）

公式

方式数也可以表示为二项式系数的和：

$\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n - k}{k}$

其中 $k$ 是跳两阶的次数， $⌊n/2⌋\lfloor n/2 \rfloor$ 是 $n /2$ 的向下取整。

此问题是一个经典的动态规划问题，其解与斐波那契数列紧密相关。如果您需要计算特定 $n$ 的值，我可以进一步协助。

Python 实现

以下是使用Python实现的解决方案，代码通过动态规划计算兔子跳上n阶楼梯的不同方式数，其数学本质是斐波那契数列：

def count_rabbit_jumps(n: int) -> int:
    """计算兔子跳上n阶楼梯的不同方式数。

    兔子每次可以跳1阶或2阶。该问题等价于斐波那契数列问题：
    ways(0) = 1   # 基例：0阶楼梯有1种方式（不动）
    ways(1) = 1   # 1阶楼梯只有1种方式
    ways(n) = ways(n-1) + ways(n-2)  # 最后一步跳1阶或2阶

    Args:
        n (int): 非负整数，表示楼梯总阶数。

    Raises:
        ValueError: 如果输入为负数。

    Returns:
        int: 兔子到达楼顶的不同跳跃方式总数。
    """
    # 验证输入非负
    if n < 0:
        raise ValueError("楼梯阶数不能为负数")

    # 处理基例：n=0 或 n=1
    if n == 0:
        return 1
    if n == 1:
        return 1

    # 初始化动态规划状态：a表示前前项，b表示前一项
    a, b = 1, 1

    # 迭代计算斐波那契数列
    for _ in range(2, n + 1):
        # 状态转移：当前项 = 前两项之和
        a, b = b, a + b

    return b


# 测试前5阶楼梯
for i in range(6):
    print(f"楼梯阶数: {i} → 跳跃方式: {count_rabbit_jumps(i)}")

# 示例输出注释：
# 楼梯阶数: 0 → 跳跃方式: 1   (无跳跃)
# 楼梯阶数: 1 → 跳跃方式: 1   (1)
# 楼梯阶数: 2 → 跳跃方式: 2   (1+1, 2)
# 楼梯阶数: 3 → 跳跃方式: 3   (1+1+1, 1+2, 2+1)
# 楼梯阶数: 4 → 跳跃方式: 5   (1+1+1+1, 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, 2+2)
# 楼梯阶数: 5 → 跳跃方式: 8   (略)

关键实现说明

动态规划优化：
- 时间复杂度： $O (n)$ ，通过单次循环计算
- 空间复杂度： $O (1)$ ，仅用两个变量存储状态
- 避免递归导致的指数级复杂度
边界处理：
- 显式处理 n=0 和 n=1 的基例
- 输入验证确保非负整数
- 迭代从2开始避免冗余计算
数学对应关系：
- 结果对应斐波那契数列 $F (n + 1)$
- 例如： $\rightarrow F(6)=8$

这道面试题的本质是考察候选人将现实问题抽象为动态规划模型的能力和在时间复杂度约束下设计最优算法的思维，这类能力直接对应量化金融中高频交易系统开发、衍生品定价优化、风险价值（VaR）计算等核心挑战，其中高效处理状态转移和路径依赖问题是关键。

🔑 核心知识点

动态规划（DP）
- 核心思想：将复杂问题分解为重叠子问题（如 $f (n) = f (n - 1) + f (n - 2)$ ）
- 金融映射：期权定价（二叉树模型）、投资组合路径优化
算法复杂度优化
- 从指数级递归（ $O(2^n)$ ）到线性迭代（ $O (n)$ ）的优化
- 金融需求：实时风控系统需在毫秒级处理大规模状态计算
边界条件与鲁棒性
- 处理 $n = 0$ 或负数的异常输入
- 金融场景：极端市场条件下的模型稳定性（如黑天鹅事件）
数学建模能力
- 识别斐波那契数列规律（ $F_{n+1}$ ）
- 金融关联：随机过程（如布朗运动）中的路径计数问题

📊 面试评估维度

考察维度	具体表现要求	本题对应点
问题抽象能力	将物理场景转化为数学模型	楼梯跳跃 → 状态转移方程 $f (n) = f (n - 1) + f (n - 2)$
算法设计	时间/空间复杂度优化	用迭代替代递归，空间复杂度从 $O (n)$ 降至 $O (1)$
代码严谨性	边界处理与异常检测	对 $n < 0$ 抛出错误，显式处理 $n = 0$ 和 $n = 1$
金融联想力	关联量化金融场景	类比衍生品定价中的路径依赖（如蒙特卡洛模拟中的状态跳跃）

🧩 典型回答框架

问题澄清
- 确认约束条件（“仅跳1/2阶”，“n阶楼梯”，“求路径数”）
数学建模
- 推导递推关系： $f (n) = f (n - 1) + f (n - 2)$
- 定义基例： $f (0) = 1$ （无动作）, $f (1) = 1$
算法选择
- 否决递归（栈溢出风险），选择动态规划迭代
- 用双变量 $(a, b)$ 滚动更新状态
代码实现
- 强类型声明（n: int）
- 异常处理（n<0 时 raise ValueError）
- 循环从 2 开始迭代
验证测试
- 输出 n=0..5 的结果比对斐波那契数列 [1,1,2,3,5,8]