量化面试绿皮书：15. 假币一-优快云博客

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文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

15. 假币一

有 10个袋子，每个袋子里有 100个相同的硬币。
在除一个以外的所有袋子中，每枚硬币重10 克。
然而，假币袋中的所有硬币重达9克或 11克。

Q: 您是否可以使用显示准确重量的数字秤，仅通过一次称重就找到假冒包？

A: 可以使用数字秤仅通过一次称重就找到假币袋。以下是具体的方法和步骤：

步骤

给袋子编号：将10个袋子分别编号为1到10。
取硬币：
- 从第1个袋子取1枚硬币。
- 从第2个袋子取2枚硬币。
- 从第3个袋子取3枚硬币。
- …
- 从第10个袋子取10枚硬币。
  （总共取出硬币数：1 + 2 + 3 + … + 10 = 55枚）
称重：将这55枚硬币一起放在数字秤上称重，得到实际重量 $W$ 克。
计算预期重量：如果所有硬币都是真币（每枚10克），则55枚硬币的总重量应为 $55 \times 10 = 550$ 克。
计算差值：计算实际重量与预期重量的差值 $D = W - 550$ 。
判断假币袋和重量偏差：
- 如果 $D < 0$ （即 $D$ 为负数），则假币袋较轻（所有硬币为9克），且假币袋的编号为 $∣ D ∣$ （即 $D$ 的绝对值）。例如：
  - 如果 $D = - 3$ ，则第3号袋子是假币袋，且硬币较轻（9克）。
- 如果 $D > 0$ （即 $D$ 为正数），则假币袋较重（所有硬币为11克），且假币袋的编号为 $D$ 。例如：
  - 如果 $D = 5$ ，则第5号袋子是假币袋，且硬币较重（11克）。

为什么这个方法有效？

由于每个袋子取出的硬币数量不同（1到10枚），差值 $∣ D ∣$ 直接对应假币袋的编号（因为假币袋的每个硬币偏差±1克，导致总重量偏差±取出的硬币数量）。
差值的符号（正或负）指示了假币是较重还是较轻。
由于只有一个假币袋，且其硬币重量统一为9克或11克，因此 $D$ 不可能为0（除非所有袋子都是真币，但问题已说明有一个假币袋）。

示例

假设称重得到 $W = 547$ 克：
- $D = 547 - 550 = - 3$
- 由于 $D < 0$ ，假币袋是第3号袋子，且硬币较轻（9克）。
假设称重得到 $W = 555$ 克：
- $D = 555 - 550 = + 5$
- 由于 $D > 0$ ，假币袋是第5号袋子，且硬币较重（11克）。

此方法只需一次称重，且每个袋子取出的硬币数不超过10枚（远少于袋子中的100枚），因此可行。

Python 实现

import random
from typing import Dict


def find_counterfeit_bag() -> Dict[str, int]:
    """通过一次称重识别假币袋及假币类型

    策略：
    1. 给每个袋子分配唯一编号（1-10）
    2. 从编号n的袋子取n枚硬币（1号袋取1枚，2号袋取2枚...10号袋取10枚）
    3. 称量总重量并计算与理论值(550克)的差值
    4. 根据差值符号和绝对值确定假币袋编号和假币类型

    Returns:
        Dict[str, int]: {
            actual_bag: 实际假币袋编号
            actual_type: 实际假币重量(9或11)
            found_bag: 检测到的假币袋编号
            found_type: 检测到的假币重量(9或11)
        }
    """
    # 初始化所有袋子为真币（10克）
    bags = [10] * 10

    # 随机选择假币袋（0-9索引）和假币类型（9克或11克）
    counterfeit_bag_index = random.randint(0, 9)
    counterfeit_type = random.choice([9, 11])
    bags[counterfeit_bag_index] = counterfeit_type

    # 按规则取硬币：编号n的袋子取n枚
    total_weight = 0
    for bag_index in range(10):
        coins_count = bag_index + 1  # 袋子编号 = 索引+1
        total_weight += coins_count * bags[bag_index]

    # 计算与理论值（55枚*10克=550克）的差值
    weight_difference = total_weight - 550

    # 根据差值确定假币袋和类型
    if weight_difference > 0:
        found_bag = weight_difference  # 差值为正时绝对值=假币袋编号
        found_type = 11
    else:
        found_bag = -weight_difference  # 差值为负时绝对值=假币袋编号
        found_type = 9

    return {
        "actual_bag": counterfeit_bag_index + 1,  # 转换为1-10编号
        "actual_type": counterfeit_type,
        "found_bag": found_bag,
        "found_type": found_type,
    }


def test_counterfeit_detection(tests: int = 10) -> None:
    """测试假币检测函数

    Args:
        tests (int, optional): 测试次数. Defaults to 10.
    """
    for test_num in range(1, tests + 1):
        result = find_counterfeit_bag()
        success = (
            result["actual_bag"] == result["found_bag"]
            and result["actual_type"] == result["found_type"]
        )

        print(f"\n测试 #{test_num}: {'成功' if success else '失败'}")
        print(
            f"实际: 袋{result['actual_bag']} ({result['actual_type']}克) "
            f"检测: 袋{result['found_bag']} ({result['found_type']}克)"
        )


test_counterfeit_detection()

方案说明

核心算法：
- 从编号为n的袋子取n枚硬币（1≤n≤10）
- 称重获得总重量W
- 计算差值：diff = W - 550
- 判断规则：
  - diff > 0 → 假币袋编号 = diff，假币重量=11克
  - diff < 0 → 假币袋编号 = -diff，假币重量=9克
数学原理：
- 理论重量：55枚 × 10克 = 550克
- 差值公式：diff = k × (w - 10)
  - k：假币袋编号（1-10）
  - w：假币重量（9或11）
- 通过k = |diff|和w = 10 + sign(diff)唯一确定假币袋
代码验证：
- 随机生成假币袋位置（1-10）和假币类型（9/11克）
- 自动检测并验证结果准确性
- 提供可视化测试报告

这道面试题的本质是考察候选人将复杂系统抽象为数学模型的能力和在强约束条件下设计信息最大化方案的能力，这类能力直接对应量化金融中高频交易系统优化、风险因子识别、以及市场异常检测等核心挑战。

🔑 核心知识点

信息论应用
- 单次测量中最大化信息熵（10个袋子×2种异常类型=20种可能性 → 单次称重解码）
约束优化
- 在"单次称重"的硬性限制下设计最优采样策略
异常检测建模
- 将假币袋问题映射为市场中的异常波动源定位
数值编码技术
- 通过差异化取样（第n袋取n枚）实现位置与类型的正交编码

📊 面试评估维度

考察维度	具体表现要求	本题对应点
系统抽象能力	将物理问题转化为数学模型	用重量差方程定位异常源：ΔW=k·(w-10)
约束创新思维	在强限制下突破常规解法	单次称重需同时解决位置+类型双重问题
数值敏感度	识别微小差异的放大效应	利用取样数量级差放大9g/11g信号差异
边界条件处理	验证方案完备性	证明方案覆盖所有可能情况（k∈[1,10], w∈{9,11}）

🧩 典型回答框架

问题重构

# 关键变量定义
total_bags = 10          # 系统维度
measure_limit = 1        # 约束条件
anomaly_types = 2        # 异常类型(9g/11g)

编码设计

取样策略：从第k袋取k枚硬币 → 权重向量 = [1,2,3,...,10]

数学建模

$\Delta W = \sum_{i=1}^{10} w_i \cdot c_i - 550 = k \cdot (w_k - 10)$

解码规则

if ΔW > 0: 
    假币袋 = ΔW, 类型=11g
else: 
    假币袋 = |ΔW|, 类型=9g

💡 核心洞察

真正的量化价值在于：将市场噪声转化为信息优势

如同假币袋问题中9g/11g的微小差异，市场中的alpha信号常被噪声淹没
成功的量化策略本质是设计"数学称重方案"：
- 在高频交易中：用tick级数据差异定位微观结构异常
- 在风险控制中：通过头寸组合权重放大特定风险因子暴露
- 在套利策略中：构建多腿交易使定价偏差线性化显现

本题的取样策略本质是构建了一个带权重的线性滤波器，这正是量化金融中因子剥离和信号提取的数学内核。