Google 网页排序算法 PageRank

0. 原理

PageRank通过分析互联网上庞大的超链接关系网来确定一个网页的等级。理论上，A页面到B页面的链接被视为A页面对B页面的一票支持。Google 根据这些投票的来源（以及来源的来源，即链接到A页面的页面）以及这些页面的等级来确定新的等级。简而言之，一个高等级的页面通过其链接能够提升其他页面的等级。

1. 算法示例

考虑一个包括四个页面的小网络：A、B、C 和 D。如果所有页面都链接到A，那么A的PageRank值将是B、C 和 D的PageRank值之和。同时假设B链接到C，D链接到包括A在内的三个页面，但一个页面的所有出链的影响是平均分配的。因此，如果B对每个页面投半票，而D对每个页面只投三分之一票，则A
的PageRank计算公式如下：

$$R(A)=\frac{R(B)}{2}+R(C)+\frac{R(D)}{3}$$

或者用另一种形式表示为：

$$R(A)=\frac{R(B)}{L_n(B)}+\frac{R(C)}{L_n(C)}+\frac{R(D)}{L_n(D)}$$

其中 $L_n(X)$ 表示页面X的出链接数量。

2. PageRank 的计算

对于任一页面 $p_i$，其PageRank值计算公式为：

$$R(p_i)=\frac{1-d}{N}+d\sum _{p_j\in M(p_i)}\frac{R(p_j)}{L_n(p_j)}$$

这里 $d$ 是阻尼系数，

大家可能不是很懂这个阻尼系数，我在这里简单的解释下。就是如果单纯的按照上述公式中$R(A)=\frac{R(B)}{L_n(B)}+\frac{R(C)}{L_n(C)}+\frac{R(D)}{L_n(D)}$ 这样定义一个网站好坏是不是过于片面了呢。仅仅是其他网站的设置的超链接过多就可以定义这个网站很好，显然过于片面。所以引入这个一个$d$ 控制一个网页的好坏和其被其他网页的超链接多少有关系，但是并不是百分百的，是可控的从而让数值更接近于真实的情况。这里仅仅是引入下一节详细讲讲这个d

对所有页面 $N$，PageRank分配的形式为矩阵：

$$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{c}\frac{1-d}{N}\\ ⋮\\ \frac{1-d}{N}\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{ccc}{l}_{1,1}& \cdots & l_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ l_{n,1}& \cdots & l_{n,n}\end{array}\right]\mathbf{R}$$

其中，如果 $p_j$ 不链接到 $p_i$，则 $l_{i,j}=0$。对于任意页面 $j$，有 ${\sum }_{i=1}^N{l}_{i,j}=1$。

3. 阻尼系数的理解

我们这么理解网页的入度，就是其他网站放了另外一个网站的超链接，这可以理解成这个网站被推荐了一次。如果入度很多就是表示这个网站被很多网站推荐了。但是这能用来衡量一个网站的好坏或者是重要性吗显然不够全面，可能一个新网站最初没那么多人推荐但是他内容质量很高呢？？或者是大家做成了浏览器书签每次都是直接访问不需要搜索呢。这就是阻尼系数

3.1PageRank 算法的解释与组成：

1. 通过链接的重要性：

   • 此部分由公式表示：$$d\sum _{p_j\in M(p_i)}\frac{PR(p_j)}{L(p_j)}$$
   • 这意味着网页 $p_i$的 PageRank 值依赖于指向它的其他网页的数量和这些网页自身的重要性（即它们自己的 PageRank 值）。这形成了一种“互推机制”，即一个网页被多个重要的网页指向，它自身也会被认为重要。

2. 随机跳转的概率：

   • 表示为：$$\frac{1-d}{N}$$
   • 其中 $d$ 通常设为 0.85，因此$1-d$是 0.15。这部分代表了用户有时不是通过链接点击进入某个页面，而是通过直接输入网址、使用书签等随机方式访问的概率。

3.2 阻尼系数 $d$ 的作用：

• 阻尼系数 $d$ 帮助平衡通过链接传达的“推荐信任度”和用户可能的随机访问行为，使整个系统更加贴近实际的网页访问模式。
• 如果没有随机访问部分（$1-d$），所有网页的 PageRank 值将完全依赖于链接结构，可能导致那些虽然内容丰富但链接较少的页面得分较低。引入 $$1-d$$ 使每个页面都有被发现的机会，不论其链接数量。

4. 总结

PageRank技术的主要限制之一是对新页面不够友好。由于新页面通常没有太多外链，它们的初始等级较低，难以与旧页面竞争，即使它们的内容非常优质。这是因为PageRank重视历史链接的积累。其实这个博文主要是为了记录我对 阻尼系数 $d$的理解，先这样吧，如果您感觉还不错麻烦点赞推荐下。