Atcoder ABC 187 F - Close Group 题解

最新推荐文章于 2025-05-26 05:00:00 发布

konjac_HZX

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分类专栏：题解 # AtCoder 文章标签： c++ Atcoder At ABC

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文章描述了一个关于图论的问题，给定一个最多18个节点的简单无向图，需要通过删除一些边，使得任何两个连通的节点间有直接的边。目标是最小化连通块的数量。解决方案采用了动态规划和状态压缩的技术，通过遍历所有可能的子集并判断是否为完全图，更新最少连通块数量。最后，代码示例展示了如何实现这一算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给 $n$ 个点（ $n≤18n\leq18$ ）， $m$ 条边（ $m≤n∗(n−1)2m\leq\frac{n*(n-1)}{2}$ ）你一个简单无向图，删去一些边（可以是0），使得图满足以下性质：

任意两点 $a$ ， $b$ ，如果 $a$ ， $b$ 连通，那么 $a$ ， $b$ 之间有边。

求满足条件最少的连通块数量。

思路

题目数据很小，状压走起！

首先我们设 $f_v$ 表示当顶点集合为 $v$ 时，最少的连通块数量。

然后我们先暴力枚举点集 $v$ ，判断这个点集 $v$ 是否为完全图。

此时我们想怎么转移。

我们可以发现当 $v^{'}$ 为 $v$ 的子集时， $f_v=min(f_{v'}+f_{v-v'})$ 。

所以此时我们就要枚举 $v^{'}$ 。

我们先把 $v^{'} = v$ ，然后我们接下来每次都把 $v′=(v′−1)&vv'=(v'-1)\&v$ ，此时 $(v′−1)&v(v'-1)\&v$ 肯定是 $v$ 的子集，因为如果 $v^{'} - 1$ 中二进制下有一位为 $1$ 且 $v$ 的这一位为 $0$ ，那么在 $(v′−1)&v(v'-1)\&v$ 的时候这个 $1$ 就不见了，因为 $1&0=01\&0=0$ 。

接下来我们来算一下时间复杂度。

在枚举 $v^{'}$ 的时候，因为 $v$ 和 $v^{'}$ 的在二进制下每一位的关系只有三种情况， $1/0$ ， $1/1$ ， $0/0$ ，也就是说，把所有枚举的情况乘起来，就是 $3^n$ ，虽然 $3n≥3×1093^n\geq 3 \times 10^9$ ，但是因为常数很小，所以还是可以过。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,mp[25][25],f[2621445];
int main() {
    int u,v;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d",&u,&v),mp[u][v]=mp[v][u]=1;
    bool flag;
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=(1<<n)-1;i++) {
        flag=true;
        for(int j=1;j<n;j++)
            if((i>>(j-1))&1)
                for(int l=j+1;l<=n;l++)
                    if((i>>(l-1))&1&&(!mp[j][l])) {
                        flag=false;
                        break;
                    }
        if(flag)
            f[i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=(1<<n)-1;i++)
        for(int j=i;j;j=(j-1)&i)
            f[i]=min(f[i],f[j]+f[i^j]);
    printf("%d",f[(1<<n)-1]);
    return 0;
}