电磁场与仿真软件(35)

关于Yee Grid篇后续部分关于dispersion relation的,教程上的公式(如下图)来的太突兀了.我不是很理解,也还没找到推导过程.这部分先略过.

先直接进入下一节: 如何用FDM去计算波导

波导是什么,就是如下图:

电磁波只能在n2中向前传播,并不会透射到n1, n3介质中(即在界面上发生全反射)  这样的结构就称为波导.

所以全反射是形成波导的最基本条件, 我们来写下全反射的条件: 

a. n2>n1, n2>n3; （比如n3是玻璃,上面长了一层n2 硅,再上面是空气n1）

b. 入射角度 ;

如果满足了全反射条件, 还不一定会形成波导,还必须满足一定的特征方程才能形成波导.

先直观的理解下这件事情:

在波导里传播的是波,波就存在互相干涉的问题（如果传播的是古典物理中的粒子的话,就不会存在这样的问题）

如下图,到达B点的波,至少有2部分组成,

一个A点经过2次全反射,到达B点; 

另一个是波直接到达B点;

两者存在着相位差,如果相位差不是的整数倍的话,波就存在互相干涉的可能性,那么这种模式是不允许存在的(即波不会向前传播)

我们也知道, A,B之间的波程差有2部分组成: 一个是反射的路径长度,还有就是发生全反射时产生的相位差,而这些会和入射角度, 波的频率, 三种材料的折射率有关系. 

我们大概可以猜到,只有一些特定角度波是被允许存在在这个波导中传播的,这个特定角度一定是和波的频率, 三种材料的折射率有关

上面是直观的理解,接下来我们就要试着用Maxwelll方程去定量的分析这件事情.也看下我们直观理解是不是对的:) 我们先求解最一般的情况看下

假设我们需要求解的是如下这个波导 

 首先按照布洛赫定理,我们可以猜测我们最后求得的解的形式如下：

波导沿着z方向是周期性的结构,在z方向主要存在就是传播系数

其中  是衰减系数, 是波长；

求的是在这个截面上,电场强度是如何分布的.

求解过程就是用Maxwelll方程 ：

先假设如下:

我们把它带入旋度方程:

同理可以求得完成的6个方程如下:

其中: 

然后我们可以把这6组偏微分方程写成矩阵形式(参考上一篇)

特别需要注意的是这边用的是"Dirichlet boundary condition" 原因是因为波在波导的边界处会全反射,因此在波导外面可以近似的认为没有电磁波传播(实际是指数级衰减)

然后我们比较关心的是在X,Y平面上电磁场是怎么分布的,在z方向是次要因素,因此我们把方程中的z相关部分消掉如下:

接下来再对这四个方程做下整形,以便更好的去解:

这样整形后,看起来很像ax,ay,bx,by的线性方程组,我们可以把它们写成矩阵形式:

还可以做进一步的简写:

然后我们可以得到:

合并这两项:

这个式子就很熟悉了,这是个标准的eigen value问题, 实际就是在求这个矩阵的eigen value和eigen function.

这是用FDM求解波导的一般步骤,在这边没有做任何架设和近似,只是完全从Maxwelll方程出发,然后做FDM近似做的推导.

然后我们继续看下这个式子,把它展开来,做下总结:

矩阵展开来,写成两个式子,可以得到如下式子:

按照上面式子我们可以得到(x方向的电场)有两项组成,一项是self-coupling项,另一项是y方向的cross coupling项.

如果电磁波是线性极化的,那么我们就可以忽略cross coupling项, 如下图教材上所示:

如果这样的话,就会变成两个完全独立的方程组,可以称为2种mode(Ex极化模式和Ey极化模式)

 

这篇至少很粗略的介绍下一般分析波导的方法,实际上我们只是得到了一些微分方程,还没有具体去解什么. 实际针对各种不一样的波导,会用到不同的边界条件或者近似,才能求出各种允许模态的传播系数 和电磁场在x,y平面强度的分布. 

下一篇会从比较简单的slab waveguide出发,去实际求解波导.

 参考资料: Dr.Raymond Rumpf在youtube上的CEM课程