电磁场与仿真软件(32)

Walt Lu

于 2022-12-16 12:58:49 发布

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文章标签：算法射频工程

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在课程上没有提到泰勒展开式,其实开篇大部分都在讲的泰勒展开式.我会从直接从泰勒展开式开始:

先复习下泰勒展开式:

忽略误差项 $R_{n}(x)$ ,令 $x-x_{0}=\Delta$ ，

则

$f(x_{0}+\Delta )=f(x_{0})+f'({x_{0}})\Delta +\frac{\Delta^{2} }{2!}{f}''(x_{0})+\frac{\Delta^{3} }{3!}{f}'''(x_{0})+......$ ---A

$f(x_{0}-\Delta )=f(x_{0})-f'({x_{0}})\Delta +\frac{\Delta^{2} }{2!}{f}''(x_{0})-\frac{\Delta^{3} }{3!}{f}'''(x_{0})+......$ ---B

式A+式B可以得到,忽略高阶项可以得到:

$f''(x_{0})=\frac{f(x_{0}+\Delta )-2f(x_{0})+f(x_{0}-\Delta )}{\Delta ^{2}}$

式A-式B可以得到,忽略高阶项可以得到:

$f'(x_{0})=\frac{f(x_{0}+\Delta )-f(x_{0}-\Delta )}{2\Delta }$

我们就得到了关于f(x)的一阶,二阶微分的近似计算式,这个就是有限差分法的最基本的想法.(如果你继续计算去算的话,还可以得到三阶,四阶微分的近似计算式,不过在CEM中很少会用到).

接下来会去对这个上述结论如何在计算机计算中应用做下展开.

有限差分法在计算中有2种方法,如下图所示, 一种是传统的FDM,另一种是改进型的, 都会做下简单介绍.

1. 传统的FDM计算步骤:

a. 需要求解的微分方程如下:

b. 把上面得到的近似求解公式带入上述微分方程可以得到:

c. 把上面式子整理一下,得到:

d. 按照上述式子,把它map到矩阵如下图:

f(1)~f(N)是求解的值, c(1)~c(N)是加的已知的source, 只要求出a(k),b(k),就能解出我们想要的结果

但这个矩阵很难算,一般不会用这个方式

2. 改进型的FDM:

把 $\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial^{2} }{\partial x^{2}}$ 当做是一个矩阵算符, 记成 $D_{x}^{(2)}$ , $D_{x}^{(1)}$ , 然后这个微分方程

可以写成：

然后我们需要去看 $D_{x}^{(1)}$ $D_{x}^{(2)}$ 是什么:

先看一个简单的运算,如果是b(x)f(x)写成矩阵运算形式,是对角矩阵,对角线上每一个值代表了b(x)

接下来一样的,先看 $D_{x}^{(1)}$ 是什么: 我们已经知道了 $f_{1}$ .. $f_{N}$ 和 $f'_{1}....f'_{N}$ 然后再反推出矩阵形式如下:

只是需要注意的是, $f_{0},f_{7}$ 并没有被定义,这个取决于边界条件,

如果求解的周期性结构的话, $f_{0}=f_{6},f_{7}=f_{0}$ ；

简单一点的话, 就可以认为 $f_{0}=f_{7}=0$ ；

具体还是要实际情况实际分析.

同理可求得 $D_{x}^{(2)}$ :

Maxwell方程是x,y,z的偏微分方程,用类似的方式也可以求得偏微分方程的矩阵算符,这边就简单写下

先看二阶偏微分,

$f_{???}$ 取决于边界条件.

参考资料: Dr.Raymond Rumpf在youtube上的CEM课程

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