倒易点阵解析-优快云博客

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这一篇开始介绍倒易点阵,关于概念,我觉得WIKI的解释比baidu百科上好多了.

这边会基于WIKI上的解释展开,WIKI上的解释:

倒易点阵（英语：reciprocal lattice），又称倒（易）晶格、倒（易）格子，是物理学中描述空间波函数的傅立叶变换后的周期性的一种方法。相对于正晶格所描述的实空间周期性，倒晶格描述的是动量空间，亦可认为是k空间的周期性。

在黄振昌教授的课程中有提到: 晶体中原子造成的衍射和光栅的理念是类似的.原子可以认为是光栅的狭缝(都是一堆点源的集合 - 惠更斯原理). 原子间的间距可以认为是光栅中狭缝的间距.只是原子的数目数量级和光栅中狭缝的数量级不在一个等级上.但数学模型是类似的.

绕射(衍射)的计算和傅里叶变换的数学模型是一致的,所以说是" 描述空间波函数的傅立叶变换后的周期性的一种方法" 这边做下简单展开:

单光栅的数学计算模型如下:

$k=2\pi /\lambda$

傅里叶变换公式的定义如下:

就差了一个常数项而已, x取代了 $sin\Theta /\lambda$ 而已绕射(衍射)的数学模型就是傅里叶变换

接下来写下倒易点阵的定义:

在真实空间中,定义一个向量空间 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 那么它的倒易点阵空间(reciprocal lattice)就是 $\vec{a}^{*},\vec{b}^{*},\vec{c}^{*}$

其中:

$\vec{a}^{*}=\vec{b}\times \vec{c}/(\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c}));$

$\vec{b}^{*}=\vec{a}\times \vec{c}/(\vec{b}\cdot (\vec{a}\times \vec{c}));$

$\vec{c}^{*}=\vec{a}\times \vec{b}/(\vec{c}\cdot (\vec{a}\times \vec{b}));$
这么定义是有原因的, 在上面有写到, 绕射(衍射)在数学上计算就是做傅里叶变化,如果针对一个空间分布的函数f( $\vec{r}$ ) 做傅里叶变化其中 $\vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}$

把 $\vec{r}$ 的 $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ 转到另一个坐标空间 $\hat{u},\hat{v},\hat{w}$ 坐标为( $u,v,w$ )，如果坐标转换满足如下条件:

$\hat{x}\cdot \hat{u}=1, \hat{x}\cdot \hat{v}=0,\hat{x}\cdot \hat{w}=0,$

$\hat{y}\cdot \hat{u}=0, \hat{y}\cdot \hat{v}=1,\hat{y}\cdot \hat{w}=0,$

$\hat{z}\cdot \hat{u}=0, \hat{z}\cdot \hat{v}=0,\hat{z}\cdot \hat{w}=1,$

那么做傅里叶变换的计算就会简单很多: $\vec{u}\cdot \vec{r}=ux+vy+xz$

而满足上述条件的变换就是倒易点阵空间的定义,比如

$\vec{a}^{*}=\vec{b}\times \vec{c}/(\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c}));$ 一定满足 $\hat{x}\cdot \hat{v}=0,\hat{x}\cdot \hat{w}=0,$ $\vec{x}\cdot \vec{u}=1$ (可以自己计算,很简单)