蓝桥杯算法笔记＜2＞ 基础前缀和

k倍区间

给定一个长度为 N 的数列，A1,A2,…AN，如果其中一段连续的子序列 Ai,Ai+1,…Aj 之和是 K 的倍数，我们就称这个区间 [i,j] 是 K 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗？

输入格式
第一行包含两个整数 N 和 K。

以下 N 行每行包含一个整数 Ai。

输出格式
输出一个整数，代表 K 倍区间的数目。

数据范围
1≤N,K≤100000,
1≤Ai≤100000
输入样例：
5 2
1
2
3
4
5
输出样例：
6

首先考虑暴力算法,枚举所有的区间，并统计符合要求的区间数量

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 100010;
int q[N];
int cnt;

int main()
{
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &q[i]);

	/*暴力做法*/
	for (int i = 1; i <= n; i++)  //i为区间的右端点
	{
		for (int j = 1; j <= i; j++) //j为区间的左端点
		{
			int sum = 0;

			for (int y = j; y <= i; y++)
			{
				sum += q[y];
			}
			if (sum % k == 0)
				cnt++;
		}
	}

	cout << cnt;
}

很显然，上面的做法会超时，只能得到少部分分数，需要进行优化
在上面的算法中，使用到了区间的和，所以考虑使用前缀和进行优化
在使用前缀和的过程中有两个需要注意的点
1.需要注意 s[n]=s[n-1]+q[n]时可能出现数组越界，故要从1开始进行循环
2.前缀和数组可能很大以至于爆int，故使用long long 进行存储更为稳妥

代码如下

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 100010;
int q[N];
int s[N];
int cnt;

int main()
{
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &q[i]);

	/*前缀和初始化*/  
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		s[i] = s[i - 1] + q[i];
	

	for (int i = 1; i <= n; i++)  //i为区间的右端点
	{
		for (int j = 1; j <= i; j++) //j为区间的左端点
		{
			
			/*使用前缀和进行优化*/
			int sum = s[i] - s[j - 1];
			if (sum % k == 0)
				cnt++;
		}
	}

	cout << cnt;
}

在使用前缀和进行优化之后，时间复杂度依然偏高，需要进一步优化
观察下面的这重循环

for (int j = 1; j <= i; j++) //j为区间的左端点
 {
			
		/*使用前缀和进行优化*/
	int sum = s[i] - s[j - 1];
	if (sum % k == 0)
		cnt++;
 }

其实质是在寻找 对于每个固定的右端点i，在s[0]到s[i-1]中，有多少个数与k的模与s[i]%k相等
所以可以考虑开一个数组cnt[N]用于存储s[0]到s[i-1]中，对应余数的数量
优化后的代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 100010;
long long  q[N];
long long  s[N];
long long cnt[N]; 
long long  res;

int main()
{
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lld", &q[i]);

	/*前缀和初始化*/  
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		s[i] = s[i - 1] + q[i];
	
	//由于s[0]%k==0,所以在循环之前cnt[0]已经有一个数s[0]了，所以将cnt[0]置为1
	cnt[0] = 1;
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)  //i为区间的右端点
	{
		/*这一重循环的作用即寻找区间s[0]到s[i-1]中有多少数除以k的余数与s[i]相同*/
		res += cnt[s[i]%k];
		cnt[s[i] % k]++;
		/*
		for (int j = 1; j <= i; j++) //j为区间的左端点
		{
			
			int sum = s[i] - s[j - 1];
			if (sum % k == 0)
				res++;
		}
		*/
	}

	cout << res;
}

上面的最后一次优化，脱离了解题的思路本身，直接使用了效果相同但是时间复杂度更低的代码进行替换。这种优化思路非常赞

另外，算法题往往有步骤分，所以不一定要追求满分，在大方向不出错的情况下，使用更多的优化方式进行优化，这样可以尽可能地提高单题的得分。