信号处理-Hilbert包络谱

Hilbert通常用来得到解析信号，基于此原理，Hilbert可以用来对窄带信号进行解包络，并求解信号的瞬时频率，包络谱是通过提取信号的瞬时幅度信息来揭示信号的动态特性。

基本理论

A-Hilbert变换定义

对于一个实信号x(t)，其希尔伯特变换为：x~(t)=x(t)∗1πt

式中*表示卷积运算。

Hilbert本质上也是转向器，对应频域变换为：
1πt⇔j⋅sign(ω)

即余弦信号的Hilbert变换时正弦信号，又有：
1πt∗1πt⇔j⋅sign(ω)⋅j⋅sign(ω)=−1

即信号两次Hilbert变换后是其自身相反数，因此正弦信号的Hilbert是负的余弦。
对应解析信号为：z(t)=x(t)+jx~(t)

此操作实现了信号由双边谱到单边谱的转化。

B-Hilbert解调原理

设有窄带信号：
x(t)=a(t)cos[2πfst+φ(t)]

其中fs是载波频率，a(t)是x(t)的包络，φ(t)是x(t)的相位调制信号。由于x(t)是窄带信号，因此a(t)也是窄带信号，可设为：
a(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]

式中，fm为调幅信号a(t)的频率分量，γm为fm
的各初相角。
对x(t)进行Hilbert变换，并求解解析信号，得到：
z(t)=ej[2πfs+φ(t)][1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]

设A(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]

Φ(t)=2πfst+φ(t)

则解析信号可以重新表达为：
z(t)=A(t)ejΦ(t)

对比x(t)

表达式，容易发现：
a(t)=A(t)=x2(t)+x~2(t)

φ(t)=Φ(t)−2πfst=arctanx(t)x~(t)−2πfst

由此可以得出：对于窄带信号x(t)，利用Hilbert可以求解解析信号，从而得到信号的幅值解调a(t)和相位解调φ(t)，并可以利用相位解调求解频率解调f(t)