Python 生成与绘制齿轮万花尺轨迹

摘要

本文介绍了如何使用Python编程语言生成和绘制摆线（Hypocycloid）。摆线是一种特殊的几何曲线，可以通过一个小圆在一个大圆内侧滚动时小圆上某一点所经过的路径来形成。本文首先简要介绍了摆线的背景及其在数学和物理中的重要性，然后详细讲解了使用Python中的NumPy和Matplotlib库生成和绘制摆线的步骤，并展示了不同参数下的摆线形态。代码部分包含了生成摆线的函数和绘制摆线的函数，并通过示例展示了如何使用这些函数。

前言

摆线，又称圆滚线、旋轮线，是一种在物理学和工程学中有广泛应用的几何曲线。它在钟表设计、齿轮制造以及某些机械设计中发挥着重要作用。摆线因其独特的性质，如等时性（即摆线的一拱内任何一点到最低点的下落时间相同），而备受关注。

通过编程生成和绘制摆线，可以直观地观察和理解摆线的几何特性，为相关领域的研究和应用提供基础。本文将使用Python编程语言，结合NumPy和Matplotlib库，实现摆线的生成和绘制。

整体架构流程

1. 定义生成摆线的函数：hypocycloid函数根据给定的参数计算摆线上点的坐标。
2. 定义绘制摆线的函数：plot_hypocycloid函数调用hypocycloid函数生成摆线数据，并使用Matplotlib库绘制摆线图形。
3. 在主程序中调用绘制函数：通过不同的参数调用plot_hypocycloid函数，展示不同形态的摆线。

结合代码片段分析

def hypocycloid(lamda, period):
    R = 1                           # 大圆半径，固定为1
    r = R * period[0] / period[1]   # 根据给定的周期比例计算小圆半径
    b = lamda * r                   # 根据给定的λ值计算偏心距离
    w = 1                           # 角速度，固定为1
    theta0 = 0                      # 小圆初始位置的角度，固定为0
    phi0 = 0                        # 小圆初始旋转角度，固定为0

    # 时间数组，用于生成连续的θ值
    tl = np.arange(0, 2 * np.pi * period[1], 0.01)

    # 计算小圆圆心角度
    wc = w * r / (R - r)
    theta = theta0 + wc * tl

    # 计算小圆圆心位置
    xc = (R