互质阵的虚拟阵列推导

互质阵的虚拟阵列推导

接收信号
$$\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{N}$$
第k个信号的导向矢量，总共 K个
$$a\left({\theta }_k\right)=\left[\begin{array}{c}1\\ e^{-j2\pi d\sin {\theta }_k/\lambda }\\ ⋮\\ e^{-j2\pi Nd\sin {\theta }_k/\lambda }\end{array}\right]$$
自协方差矩阵
$$\mathbf{R}=\mathbf{A}\left(\theta \right){\mathbf{R}}_s{\mathbf{A}}^{\text{H}}\left(\theta \right)+{\sigma }^2\mathbf{I}$$
信号也是高斯的时候可以简化为
$$\mathbf{R}=\mathbf{A}\left(\theta \right)\mathbf{D}{\mathbf{A}}^{\text{H}}\left(\theta \right)+{\sigma }^2\mathbf{I}$$
其中$\boldsymbol{D}=\text{diag}\left[ \sigma _{1}^{2}\cdots \sigma _{K}^{2} \right]
$

展开看内部元素，省略噪声，$K$个信源，$M+1$个阵元（从0到$M$方便看）。
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}1\\ e^{-j2\pi d\sin {\theta }_1/\lambda }\\ ⋮\\ e^{-j2\pi Md\sin {\theta }_1/\lambda }\end{array}& \cdots & \begin{array}{c}1\\ e^{-j2\pi d\sin {\theta }_K/\lambda }\\ ⋮\\ e^{-j2\pi Md\sin {\theta }_K/\lambda }\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_1^2& & \\ & \ddots & \\ & & {\sigma }_K^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}1& e^{j2\pi d\sin {\theta }_1/\lambda }& \cdots & e^{j2\pi Md\sin {\theta }_K/\lambda }\end{array}\\ ⋮\\ \begin{array}{cccc}1& e^{j2\pi d\sin {\theta }_1/\lambda }& \cdots & e^{j2\pi Md\sin {\theta }_K/\lambda }\end{array}\end{array}\right] \\ ={\sigma }_1^2\left[\begin{array}{ccccc}1& e^{j2\pi d\sin {\theta }_1/\lambda }& e^{j2\pi 2d\sin {\theta }_1/\lambda }& \cdots & e^{j2\pi Md\sin {\theta }_1/\lambda }\\ e^{-j2\pi d\sin {\theta }_1/\lambda }& 1& e^{j2\pi d\sin {\theta }_1/\lambda }& \cdots & e^{j2\pi \left(M-1\right)d\sin {\theta }_1/\lambda }\\ e^{-j2\pi 2d\sin {\theta }_1/\lambda }& e^{-j2\pi d\sin {\theta }_1/\lambda }& 1& \cdots & e^{j2\pi \left(M-2\right)d\sin {\theta }_1/\lambda }\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ e^{-j2\pi Md\sin {\theta }_1/\lambda }& e^{-j2\pi \left(M-1\right)d\sin {\theta }_1/\lambda }& e^{-j2\pi \left(M-2\right)d\sin {\theta }_1/\lambda }& \cdots & 1\end{array}\right] \\ + \\ {\sigma }_2^2\left[\begin{array}{ccccc}1& e^{j2\pi d\sin {\theta }_2/\lambda }& e^{j2\pi 2d\sin {\theta }_2/\lambda }& \cdots & e^{j2\pi Md\sin {\theta }_2/\lambda }\\ e^{-j2\pi d\sin {\theta }_2/\lambda }& 1& e^{j2\pi d\sin {\theta }_2/\lambda }& \cdots & e^{j2\pi \left(M-1\right)d\sin {\theta }_2/\lambda }\\ e^{-j2\pi 2d\sin {\theta }_2/\lambda }& e^{-j2\pi d\sin {\theta }_2/\lambda }& 1& \cdots & e^{j2\pi \left(M-2\right)d\sin {\theta }_2/\lambda }\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ e^{-j2\pi Md\sin {\theta }_2/\lambda }& e^{-j2\pi \left(M-1\right)d\sin {\theta }_2/\lambda }& e^{-j2\pi \left(M-2\right)d\sin {\theta }_2/\lambda }& \cdots & 1\end{array}\right] \\ + \\ ⋮ \\ + \\ {\sigma }_K^2\left[\begin{array}{ccccc}1& e^{j2\pi d\sin {\theta }_K/\lambda }& e^{j2\pi 2d\sin {\theta }_K/\lambda }& \cdots & e^{j2\pi Md\sin {\theta }_K/\lambda }\\ e^{-j2\pi d\sin {\theta }_K/\lambda }& 1& e^{j2\pi d\sin {\theta }_K/\lambda }& \cdots & e^{j2\pi \left(M-1\right)d\sin {\theta }_K/\lambda }\\ e^{-j2\pi 2d\sin {\theta }_K/\lambda }& e^{-j2\pi d\sin {\theta }_K/\lambda }& 1& \cdots & e^{j2\pi \left(M-2\right)d\sin {\theta }_K/\lambda }\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ e^{-j2\pi Md\sin {\theta }_K/\lambda }& e^{-j2\pi \left(M-1\right)d\sin {\theta }_K/\lambda }& e^{-j2\pi \left(M-2\right)d\sin {\theta }_K/\lambda }& \cdots & 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
从上面详细的展开式中可以看出，矩阵$\mathbf{R}$的特点。首先矩阵是关于对角线共轭对称的，那么我们只看下三角。

每个元素的相同点都是有$e^{-j2\pi /\lambda }$，剩下不同的有两种：

1. 由信源引起的，每个位置的元素是$e^{{\sigma }_k^2\sin {\theta }_k}$的和。
2. 由阵元引起的，每个位置的元素$e^{nd}$的和。分析得更仔细一点（只看下三角），第1列是$0d$到$Md$，第2列是$0d$到$(M-1)d$，以此类推可以看作每次向下推了一格直到只有$0d$。也可以斜着看对角线，主对角线都是$0d$，次对角线都是$1d$，次次对角线都是$2d$，以此类推直到$Md$。

当我们使用互质阵列的时候，再将矩阵$\mathbf{R}$拆开看，发现里面的元素依旧如上组成，但是由阵列不是均匀的引起的每个元素的基线长度（两阵元间距）不同了。

现在我们找一种最简单的互质阵列，3和4组成的。为了简化表达，提炼关键部分，仅保留$\mathbf{R}$分解后的单个矩阵且矩阵中的元素都与最关键的基线长度有关，详细的分解情况和上面是一样的。为了方便实现和快速计算使用了Matlab进行计算。

[mat1,mat2]=ndgrid([0,3,4,6,8,9]);
R_baseline=mat1-mat2;

R_baseline=

 0    -3    -4    -6    -8    -9
 3     0    -1    -3    -5    -6
 4     1     0    -2    -4    -5
 6     3     2     0    -2    -3
 8     5     4     2     0    -1
 9     6     5     3     1     0

上面这个矩阵其实就是如下矩阵，把其中的问号替换为上面这个基线差矩阵带进去即可。
$${\sigma }_k^2\left[\begin{array}{ccccc}1& e^{j2\pi ?\sin {\theta }_k/\lambda }& e^{j2\pi ?d\sin {\theta }_k/\lambda }& \cdots & e^{j2\pi ?d\sin {\theta }_k/\lambda }\\ e^{-j2\pi ?d\sin {\theta }_k/\lambda }& 1& e^{j2\pi ?d\sin {\theta }_k/\lambda }& \cdots & e^{j2\pi ?d\sin {\theta }_k/\lambda }\\ e^{-j2\pi ?d\sin {\theta }_k/\lambda }& e^{-j2\pi ?d\sin {\theta }_k/\lambda }& 1& \cdots & e^{j2\pi ?d\sin {\theta }_k/\lambda }\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ e^{-j2\pi ?d\sin {\theta }_k/\lambda }& e^{-j2\pi ?d\sin {\theta }_k/\lambda }& e^{-j2\pi ?d\sin {\theta }_k/\lambda }& \cdots & 1\end{array}\right]$$
我们可以看到当采用了互质阵后，我们可以从R_baseline里面找到连续的[-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6]基线，把这些值提取出来我们便可以虚拟出一个与7阵元均匀线阵采集信号后得到的自协方差矩阵相同的矩阵。相比于之前的[0,3,4,6,8,9]一共6阵元扩大了阵元数，可以测更多的信源。虚拟出的自协方差矩阵为：

R_virtual =

 0    -1    -2    -3    -4    -5    -6
 1     0    -1    -2    -3    -4    -5
 2     1     0    -1    -2    -3    -4
 3     2     1     0    -1    -2    -3
 4     3     2     1     0    -1    -2
 5     4     3     2     1     0    -1
 6     5     4     3     2     1     0

用新组好的R_virtual执行MUSIC算法即可进行DOA估计。这种直接提取元素组成新虚拟自协方差矩阵的方法称为Toplitz化，没有像那种常规的矢量化方法把互质阵列虚拟成均匀线阵的单快拍情况再做计算。