这一篇让你彻底搞明白各种~~算法时间复杂度！！！

算法时间复杂度

1.算法时间复杂度定义
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

显然，由此算法时间复杂度的定义可知，在函数的渐进增长一文中前三个例子的求和算法的时间复杂度分别为O(n)，O(1)，O(n2)。我们分别可以称之为，O(1)叫常数阶、O(n)叫线性阶、O(n2)叫平方阶，当然，还有其他的一些阶，请接着往下看！

2.推导大o阶方法

(1)．用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
(2)．在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
(3)．如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶。

3.常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，也就是高斯算法，为什么时间复杂度不是O(3)，而是O(1)。

int sum = 0, n = 100;		/* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2;		/* 执行一次 */
printf("%d",sum);			/* 执行一次 */

这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。

另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句sum=(1+n)*n/2有10句，就是3次和12次执行的差异。这种与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。

对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

4.线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码须要执行n次。

int i;
for (i = 0; i < n; i++)
{
	/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */	
}

5.对数阶

来看一下下面这段代码的时间复杂度是多少：

int count = 1;
while (count < n)
{
	count = count * 2;
	/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2x(次幂)=n得到x=log2n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

6.平方阶

我们来看一段这样的代码：

int i, j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
	for (j = 0; j < n; j++)
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}
}

它是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n2)(n的平方)。

如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(m×n)。

所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢？

int i, j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
	/* 注意j = i 而不是0 */
	for (j = i; j < n; j++)
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}
}

由于当i=0时，内循环执行了n次，当i=1时，执行了n-1次，……当i=n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为：

n + (n - 1) + (n - 2) + … + 1 = n(n+1) / 2 = n^2 / 2 + n / 2*

用推导大O阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留n2/2；第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

接下来看一下对于方法调用的时间复杂度该怎样分析。

int i, j;
for (i = 0; i <n; i++)
{
	function(i);
}

上面这段代码调用一个函数 function.

void function(int count)
{
	print(count);
}

函数体是打印这个参数。其实这很好理解，function函数的时间复杂度是O(1)。所以整体的时间复杂度为O(n)。

如果 function 是下面这样的：

void function(int count)
{
	int j;
	for (j = count; j < n; j++)
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}
}

事实上，这和上面举的例子是一样的，只不过把嵌套内循环放到了函数中，所以最终的时间复杂度为O(n^2)。

最后我们来看一下常见的时间复杂度有哪些吧：

执行次数 函数阶 非正式术语
12 O(1) 常数阶
2^n+3 O(n) 线性阶
3n^2+2n+1 O(n2) 平方阶
5log2n+20 O(logn) 对数阶
2n+3nlog2n+19 O(nlogn) nlogn阶
6n3+2n2+3n+4 O(n^3) 立方阶
2^n O(2^n) 指数阶

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(n^n)