第四章：零钱兑换问题——最少硬币组合

第四章：零钱兑换问题——最少硬币组合

一、题目描述

给你一个整数数组 coins，表示不同面额的硬币；另给一个整数 amount，表示总金额。请你计算并返回可以凑成总金额所需的最少硬币数量。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11 输出：3（11 = 5 + 5 + 1）

二、状态定义

令 dp[i] 表示凑出总金额为 i 所需的最少硬币数量。

三、状态转移方程

每个金额 i 可以由某个 i - coin 转移而来：

dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)  for coin in coins 且 coin <= i

四、初始值

• dp[0] = 0（金额为 0 时不需要硬币）
• 其他 dp[i] 初始化为正无穷大（或 amount + 1）

五、实现代码

function coinChange(coins, amount) {
  const dp = new Array(amount + 1).fill(amount + 1);
  dp[0] = 0;
  for (let i = 1; i <= amount; i++) {
    for (let coin of coins) {
      if (i >= coin) {
        dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
      }
    }
  }
  return dp[amount] === amount + 1 ? -1 : dp[amount];
}

• 时间复杂度：O(amount × coins.length)
• 空间复杂度：O(amount)

六、示例演算

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11

dp[0] = 0;
dp[1] = 1(1);
dp[2] = 1(2);
dp[3] = 2(1 + 2);
dp[4] = 2(2 + 2);
dp[5] = 1(5);
dp[6] = 2(5 + 1);
dp[7] = 2(5 + 2);
dp[8] = 3(5 + 2 + 1);
dp[9] = 3(5 + 2 + 2);
dp[10] = 2(5 + 5);
dp[11] = 3(5 + 5 + 1);

最终答案：3

七、小结

“零钱兑换问题”体现了完全背包模型中，每个物品可以无限次使用的特性。它进一步加强了我们对状态转移方程灵活构造能力的理解。

下一章我们将进入另一个热门题型——最长上升子序列（LIS），学习如何在序列上进行动态规划分析。