CF1423K Lonely Numbers (数学+思维)

最新推荐文章于 2025-05-02 23:25:15 发布

林苏泽

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分类专栏：数论思维文章标签：数论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_45911397/article/details/121214890

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这篇博客探讨如何利用素数筛和三角形性质分析，解决Codeforces问题中关于1到n中孤单数的数量。通过预处理素数和判断倍数关系，作者揭示了孤单数的规律并实现了高效算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接

题意：

规定如果有两个数a,b，他俩构成的这三个数 $gcd(a,b),\frac{a}{gcd(a,b)},\frac{b}{gcd(a,b)}$ 能组成三角形，那么a,b都不孤单。
给出我们n，让我们找出1-n中有几个数孤单。

分析：

首先我们看到gcd 想到素数(~~哈哈哈博主习惯性操作~~)，然后我们分析怎样的数会是孤单的，首先当一个区间结尾也就是x为素数，这个x一定孤单，为什么那，因为他与前面的gcd一定是1，然后另两个数一个是x,一个是 $(1 (x - 1))$ 中的一个数，不满足三角形任意两边和大于第三遍。
然后我们往后扩展如果将其变成不孤单，肯定是找倍数，找多少倍就是问题。

我们想假设找k倍，那么 $a = x, b = k x ， g c d = x ， a / g c d = 1, b / g c d = x$ 怎么才能让其合法(满足x>1+k)得到k=x所以当其最大数大于 $x^2$ 那么x就不孤单了(他可以和 $x^2$ 交朋友)，然后我们想拓展就好了不是素数一定可以与前面的成为好朋友。是素数看后面有没有大于等于素数次方的数。

但是T是1e6，n也是1e6，所以我们需要预处理出来，这里用到素数筛，先筛出素数(判断是不是素数)，然后，从1遍历到1e6，判断i(结尾为i也就是长度)是不是素数，

如果是孤单的数多了一个(~~哭唧唧~~)
如果不是，判断开方是不是一个素数，如果是那么开方那个素数就不孤单了，如果不是这个数是不会孤单。

然后注意我用cin不知道为啥T了，改成scanf就好了。

// Problem: K. Lonely Numbers
// Contest: Codeforces - Bubble Cup 13 - Finals [Online Mirror, unrated, Div. 1]
// URL: https://codeforces.com/problemset/problem/1423/K
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1500 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

/// 欲戴皇冠，必承其重。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef unsigned long long ull;

#define x first
#define y second
#define sf scanf
#define pf printf
#define PI acos(-1)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define lowbit(x) ((-x)&x)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);++i)
#define repi(i,a,b) for(int i=int(a);i<=(b);++i)
#define repr(i,b,a) for(int i=int(b);i>=(a);--i)
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl;

const int MOD = 998244353;
const int mod = 998244353;
const int N = 1e6 + 10;
const int dx[] = {0, 1, -1, 0, 0};
const int dy[] = {0, 0, 0, 1, -1};
const int dz[] = {1, -1, 0, 0, 0, 0 };
int day[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

ll n, m;
string str;
int prime[N];
bool isprime[N];
ll cnt;
ll ans[N];
void init(){
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!isprime[i]){
			prime[++cnt]=i;			
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<N;j++){
			isprime[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
	ans[1]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++){
		if(!isprime[i]) ans[i]=ans[i-1]+1;
		else {
			ll num=sqrt(i);
			if(num*num==i&&!isprime[num])
				ans[i]=ans[i-1]-1;
			else ans[i]=ans[i-1];			
		}
	}
}
void solve()
{        
	scanf("%lld",&n);
	printf("%lld\n",ans[n]);
}
int main()
{
	init();
    ll t = 1;
    scanf("%lld", &t);
    while(t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}