离散数学-逻辑与证明基础1.3（命题等价）

介绍

定义 1 一个复合命题，如果无论其中命题变量的真值如何，它总是为真，则称为重言式（tautology）。一个复合命题，如果它总是为假，则称为矛盾式（contradiction）。一个既不是重言式也不是矛盾式的复合命题称为偶然式（contingency）。

例1 我们可以使用一个命题变量来构造永真式和矛盾式的例子。请考虑 $p\vee \neg p$ 和 $p\wedge \neg p$ 的真值表，如表 1 所示。由于 $p\vee \neg p$ 始终为真，因此它是一个永真式。由于 $p\wedge \neg p$ 始终为假，因此它是一个矛盾式。

逻辑等价

当复合命题在所有可能的情况下都具有相同的真值时，称它们是逻辑等价的。我们还可以通过以下方式定义这一概念。

定义 1 复合命题 $p$ 和 $q$ 被称为逻辑等价的，当且仅当 $p\leftrightarrow q$ 是重言式（恒真命题）。符号 $p\equiv q$ 表示 $p$ 和 $q$ 是逻辑等价的。

判断两个复合命题是否等价的一种方法是使用真值表。特别地，复合命题 $p$ 和 $q$ 是等价的，当且仅当它们真值的列相同。

例2 证明 $\neg (p\vee q)$ 和 $\neg p\wedge \neg q$ 是逻辑等价的。

解 这些复合命题的真值表在表 3 中给出。因为复合命题 $\neg (p\vee q)$ 和 $\neg p\wedge \neg q$ 在 $p$ 和 $q$ 的所有可能的真值组合中真值相同，因此 $\neg (p\vee q)\leftrightarrow (\neg p\wedge \neg q)$ 是一个重言式（恒真命题），因此这些复合命题是逻辑等价的。

例3 证明 $p\to q$ 和 $\neg p\vee q$ 是逻辑等价的。（这被称为条件-析取等价。）

解 我们为这些复合命题构建了真值表，见表 4。因为 $\neg p\vee q$ 和 $p\to q$ 的真值相同，所以它们是逻辑等价的。

例4 证明 $p\vee (q\wedge r)$ 和 $(p\vee q)\wedge (p\vee r)$ 是逻辑等价的。这是析取对合取的分配律。

解答：我们为这些复合命题构建了真值表，见表 5。由于 $p\vee (q\wedge r)$ 和 $(p\vee q)\wedge (p\vee r)$ 的真值相同，因此这些复合命题是逻辑等价的。

表 6 包含了一些重要的等价式。在这些等价式中，$T$ 表示始终为真的复合命题，$F$ 表示始终为假的复合命题。我们还在表 7 和表 8 中分别展示了一些关于条件语句和双条件语句的有用等价式。

析取的结合律表明，表达式 $p\vee q\vee r$ 是良好定义的，因为无论我们首先将 $p$ 与 $q$ 进行析取，然后将 $p\vee q$ 与 $r$ 进行析取，还是先将 $q$ 与 $r$ 进行析取，然后再将 $p$ 与 $q\vee r$ 进行析取，结果都是一样的。类似地，表达式 $p\wedge q\wedge r$ 也是良好定义的。通过扩展这种推理，可以得出 p1∨p2∨⋯∨pnp_1 \lor p_2 \lor \cdots \lor p_np