拓扑排序

算法分析

拓扑排序:把事情看成图的点，把先后关系看成有向边，问题转化为在图中求一个有先后关系的排序，就是拓扑排序。拓扑排序用BFS和DFS均可实现。

如何排序?

拓扑排序需要根据点的入度和出度，一个点的入度和出度体现了这个点的先后关系。如果一个点的入度等于0，说明它是起点，是排在最前面的。如果它的出度等于0，说明排在最后面。

因为优先级相同的数的存在，拓扑排序可能不止一种结果。

例如：1 是最高优先级 (2 , 3)是同一优先级，5是最低优先级，则拓扑序可能是1、2、3、5或1、3、2、5；

算法步骤：
① 找到所有入度为0的点，入队，作为起点，谁先谁后没有关系，如果找不到入度为0的点，说明不是有向无环图（DAG），不存在拓扑排序。

② 弹出队首a, a的所有邻居点的入度减一，把入度减为0的邻居点b入队，没有减为0的点不能放进队列。

③ 继续上述操作直至队列为空。

拓扑排序无解的判断：如果队列已空，但还有点未进入队列，那么这些点的入度都不是0，说明不是有向无环图，不存在拓扑排序。

有向图的拓扑排序

BFS手写队列实现。

n个点m条边的有向图，点的编号1~n,可能存在自环和重边，若一个由图中所有点构成的序列A满足：对于图中的每条边(x, y)，x在A中都出现在y之前，则称A是该图的一个拓扑序列。
如果存在拓扑序列输出拓扑序列，否则输出-1；

数据范围

1≤n,m≤105

输入样例：

3 3
1 2
2 3
1 3

输出样例：

1 2 3

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 100010;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int n, m;
int q[N], d[N];
void add(int a, int b)
{//由数据范围知这是一个稀疏图，用邻接表来写
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
bool topsort()
{
    int hh = 0, tt = -1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        if(d[i] == 0)//入度边为0
            q[++ tt] = i;//起点入队
    }

    while(hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];//去队头元素
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            d[j] -- ;//入度边数- 1
            if(d[j] == 0) q[++ tt] = j;//入度边减为0，入队j
        }
    }
    return tt == n - 1;//共进了n个点
    //此步用来判断是否无解，如果tt != n - 1说明某些点不在队列中，表示无解。
}
int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(h, -1, sizeof h);

    for(int i = 0; i < m; i ++ )//
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
        d[b] ++ ;//入度边数
    }
    if(topsort())//存在拓扑序列
    {
        for(int i = 0; i < n; i ++ ) cout << q[i] << " ";
    }
    else cout << "-1" << endl;
}

这是通过手写队列来写，当然也可以使用STL队列或优先队列来写。

复杂度分析：
① 在初始化时，查找入度为0的点，需要检查每个边，复杂度O(m)
② 在队列操作中，每个点进出队列一次，需要检查它直接连接的所有邻居，复杂度O(n + m)
总复杂度为O(n + m )