2021牛客暑期多校训练营8_K.Yet Another Problem About Pi

Yet Another Problem About Pi

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题面：

题目大意：

无限多网格，长宽分别给定为$w,d$，线的长度是pi，一笔画怎么让这条线经过的网格最多。

思路：

哎，一开始想的就是沿着直线走。
关键点在于长度为无理数，实际上从一个点出发，刚开始就有4个网格可以走到。
那么实际上就是ll ans = 4ll + ll(pi / y) * 2;
但是特殊样例:
2 2
按照以上做法答案是$6$，但是实际上可以达到$7$。
通过走斜对角线实现。
将此作为两个操作当01背包算，因为数据水，可以枚举。

但其实还有点不懂为什么只考虑对角线，不用考虑长为$i$格，宽为$j$格的斜线。证明贡献为：$(i+j+1)/\surd (i\ast w{)}^2+(j\ast d{)}^2$，可以计算出对角线的贡献最大，但是对角线的贡献在$b/a>\surd 5/2$时候并没有直线大。

只能说似懂非懂，之后明白了再来补。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
double pi = acos(-1.0);

bool cmp(ll x, ll y) {
    return x > y;
}

vector<ll> ans;

int main() {
    int t;

    cin >> t;
    while (t--) {
        double w, d;
        cin >> w >> d;
        double x = sqrt(w * w + d * d);
        double y = min(w, d);

        ll ans = 4ll + ll(pi / y) * 2;
        //整条全是直线。
        ll t = 4;
        t += ll(pi / x) * 3;
        if (pi - ll(pi / x) * x >= y) t += 2;
        ans = max(t, ans);
        //先走斜线，多的走直线。

        for (int i = 0; i < 100; i++) {
            double tmp = pi - y * i;
            if (tmp < 0)break;
            ans = max(ans, 4 + ll(tmp / x) * 3 + i * 2);
            //先走直线再走斜线。
        }

        for (int i = 0; i <= 50; i++) {
            double f = pi - x * i;
            if (f < 0)break;
            ans = max(ans, 4 + ll(f / y) * 2 + i * 3);
            //先走斜线再走直线。
        }
        cout << ans << endl;
    }
}

补充

看了下有人写的题解，觉得有道理。
变换情况可能会有影响。

源于

侵删。

参考了Frank_Star的博客
写出了式子：

我觉得很妙。

而且可以证明其他斜线没有对角线优，对角线好就好在可以利用最后多出来的那一部分，把直线的+2变成斜线的+3，浪费的变少了。其他情况其实不如直线+对角来的优。因为能走≥2条直线长度的话一定是走直线更优。