POJ2229 Sumsets——找规律or完全背包

Farmer John commanded his cows to search for different sets of numbers that sum to a given number. The cows use only numbers that are an integer power of 2. Here are the possible sets of numbers that sum to 7:

1. 1+1+1+1+1+1+1
2. 1+1+1+1+1+2
3. 1+1+1+2+2
4. 1+1+1+4
5. 1+2+2+2
6. 1+2+4

Help FJ count all possible representations for a given integer N (1 <= N <= 1,000,000).
Input
A single line with a single integer, N.
Output
The number of ways to represent N as the indicated sum. Due to the potential huge size of this number, print only last 9 digits (in base 10 representation).
Sample Input
7
Sample Output
6

题目大意：给你一个数，将其拆分成2^n相加的形式，求共有多少种拆分的方式。

方法一：将所有2^i<1e6+1的值提前保存在数组中，将其看作完全背包问题中的货物，将n看作背包总容量，dp求解。

方法二：分析规律。
当n为奇数时，dp[n] = dp[n - 1]。因为n为奇数，所以在拆分时一定会得到一个1，此时无论如何组后其余的数，都之可以得到dp[n - 1]种结果。
当n为偶数时，则可以分情况讨论。情况1，拆分的组合中包括1，此时可以回到n为奇数的讨论情况（只是在原来的基础上单纯加1)。情况2，拆分的结果不包括1，那么意味着拆分出的数全部为偶数，这时候的可能组合有dp[n / 2]种，因为(n / 2) * 2 = n, 也就是dp[n / 2] 的每一种组合方式的每个数的值乘2就是情况2的全部可能组合。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;

#define ll long long
const ll mod = 1e9, maxn = 1e6 + 5;
ll dp[maxn];

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	dp[0] = dp[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		if (i & 1) dp[i] = dp[i - 1] % mod;
		else dp[i] = (dp[i - 1] + dp[i / 2]) % mod;
	}
	cout << dp[n];
	return 0;
}