240. 搜索二维矩阵 II（C++）

题目

编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target 。该矩阵具有以下特性：

每行的元素从左到右升序排列。
每列的元素从上到下升序排列。

示例 1：

输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]], target = 5
输出：true
示例 2：

输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]], target = 20
输出：false

提示：

m == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= n, m <= 300
-109 <= matrix[i][j] <= 109
每行的所有元素从左到右升序排列
每列的所有元素从上到下升序排列
-109 <= target <= 109

题解

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        int m = size(matrix);
        int n = size(matrix[0]);
        int row = 0;
        int col = n - 1;
        while(row < m && col >= 0){
            int current = matrix[row][col];
            if(current == target){
                return true;
            }else if(current > target){
                col -= 1;
            }else{
                row++;
            }
        }
        return false;
    }
};

算法原理

选择起始位置

算法选择从矩阵的右上角开始搜索（当然，从左下角开始搜索也是可行的，原理类似）。假设矩阵为 matrix，行数为 m，列数为 n，起始位置的坐标为 (0, n - 1)，即第一行的最后一列元素。选择这个位置的原因在于它具有独特的性质：

• 它是所在行的最大值。
• 它是所在列的最小值。

搜索过程中的比较与移动规则

从起始位置开始，将当前位置的元素 matrix[row][col] 与目标值 target 进行比较，根据比较结果进行不同的操作：

1. 找到目标值

如果 matrix[row][col] 等于 target，说明已经找到了目标值，直接返回 true。

2. 当前元素大于目标值

如果 matrix[row][col] 大于 target，由于当前列的元素是从上到下升序排列的，所以当前列中所有位于当前元素下方的元素都必然大于 target，可以直接排除当前列。因此，将列索引 col 减 1，向左移动一列，继续进行搜索。

3. 当前元素小于目标值

如果 matrix[row][col] 小于 target，因为当前行的元素是从左到右升序排列的，所以当前行中所有位于当前元素左侧的元素都必然小于 target，可以直接排除当前行。于是，将行索引 row 加 1，向下移动一行，继续搜索。

终止条件

搜索过程会一直持续，直到满足以下两个条件之一：

• 找到目标值，即 matrix[row][col] 等于 target，此时返回 true。
• 超出矩阵边界，也就是 row >= m 或者 col < 0，说明在整个矩阵中都没有找到目标值，返回 false。

复杂度分析

• 时间复杂度：在最坏的情况下，需要从矩阵的右上角移动到左下角，每次移动只能向上或向左移动一步。因此，最多需要移动 m + n 次，其中 m 是矩阵的行数，n 是矩阵的列数。所以，时间复杂度为 $O(m+n)$。
• 空间复杂度：算法只使用了常数级的额外空间，如几个用于记录行索引、列索引的变量，因此空间复杂度为 $O(1)$。